ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 412 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для заданного выражения определите:

1) существуют ли такие значения переменной, при которых значение выражения равно 0;

2) при каких значениях переменной выражение имеет смысл:

а) $\frac{y + \frac{1}{y — 1}}{1 — \frac{1}{y + 1}}$;

б) $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c + 1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c — 1}}$;

в) $\frac{x}{x + \frac{2}{1 + \frac{x + 2}{x — 1}}}$.

а) $\frac{y + \frac{1}{y — 1}}{1 — \frac{1}{y + 1}}$;

Выражение равно нулю при:

$y + \frac{1}{y — 1} = 0 \quad | \cdot (y — 1)$;

$y(y — 1) + 1 = 0$;

$y^2 — y + 1 = 0$;

$D = 1^2 — 4 = -3$;

$D < 0$, значит корней нет.

Выражение имеет смысл при:

$y — 1 \neq 0$, отсюда $y \neq 1$;

$y + 1 \neq 0$, отсюда $y \neq -1$;

$1 — \frac{1}{y + 1} \neq 0 \quad | \cdot (y + 1)$;

$y + 1 — 1 \neq 0$;

$y \neq 0$;

Ответ: 1) нет; 2) $y \neq 0$; $\pm 1$.

б) $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c + 1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c — 1}}$;

Выражение равно нулю при:

$\frac{1}{c} + \frac{1}{c + 1} = 0 \quad | \cdot c(c + 1)$;

$c + 1 + c = 0$;

$2c = -1$, отсюда $c = -0.5$;

Выражение имеет смысл при:

$c \neq 0$;

$c + 1 \neq 0$, отсюда $c \neq -1$;

$c — 1 \neq 0$, отсюда $c \neq 1$;

4) $\frac{1}{c} + \frac{1}{c — 1} \neq 0 \quad | \cdot c(c — 1)$;

$c — 1 + c \neq 0$;

$2c \neq 1$, отсюда $c \neq 0.5$;

Ответ: 1) $c = -0.5$; 2) $c \neq 0$; $0.5$; $\pm 1$.

в) $\frac{x}{x + \frac{2}{1 + \frac{x + 2}{x — 1}}}$;

Выражение равно нулю при:

$x = 0$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$1 + \frac{x + 2}{x — 1} \neq 0 \quad | \cdot (x — 1)$;

$x — 1 + x + 2 \neq 0$;

$2x + 1 \neq 0$;

$x \neq -0.5$;

$x + \frac{2}{1 + \frac{x + 2}{x — 1}} \neq 0 \quad | \cdot (x — 1)$;

$x(x — 1) + x(x + 2) + 2(x — 1) \neq 0$;

$2x^2 + 3x — 2 \neq 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 \neq \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2$ и $x_2 \neq \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = 0.5$;

Ответ: 1) нет; 2) $x \neq \pm 0.5$; $-2$; $1$.

а) $\frac{y + \frac{1}{y — 1}}{1 — \frac{1}{y + 1}}$;

Выражение равно нулю при:

$$y + \frac{1}{y — 1} = 0 \quad | \cdot (y — 1)$$

Раскрываем выражение:

$$y(y — 1) + 1 = 0$$

Упростим:

$$y^2 — y + 1 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3$$

Так как дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней. Следовательно, выражение не равно нулю при любых значениях $y$.

Выражение имеет смысл при:

$y — 1 \neq 0$, отсюда $y \neq 1$;

$y + 1 \neq 0$, отсюда $y \neq -1$;

$1 — \frac{1}{y + 1} \neq 0 \quad | \cdot (y + 1)$;

Решим это уравнение:

$$y + 1 — 1 \neq 0$$ $$y \neq 0$$

Ответ: 1) нет; 2) $y \neq 0$; $\pm 1$.

б) $\frac{\frac{1}{c} + \frac{1}{c + 1}}{\frac{1}{c} + \frac{1}{c — 1}}$;

Выражение равно нулю при:

$$\frac{1}{c} + \frac{1}{c + 1} = 0 \quad | \cdot c(c + 1)$$

Раскроем скобки:

$$c + 1 + c = 0$$

Упростим:

$$2c = -1 \quad \Rightarrow \quad c = -0.5$$

Таким образом, выражение равно нулю при $c = -0.5$.

Выражение имеет смысл при:

$c \neq 0$;

$c + 1 \neq 0$, отсюда $c \neq -1$;

$c — 1 \neq 0$, отсюда $c \neq 1$;

$\frac{1}{c} + \frac{1}{c — 1} \neq 0 \quad | \cdot c(c — 1)$;

Решаем это уравнение:

$$c — 1 + c \neq 0$$ $$2c \neq 1 \quad \Rightarrow \quad c \neq 0.5$$

Ответ: 1) $c = -0.5$; 2) $c \neq 0$; $0.5$; $\pm 1$.

в) $\frac{x}{x + \frac{2}{1 + \frac{x + 2}{x — 1}}}$;

Выражение равно нулю при:

$$x = 0$$

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$1 + \frac{x + 2}{x — 1} \neq 0 \quad | \cdot (x — 1)$;

Раскроем:

$$x — 1 + x + 2 \neq 0$$

Упростим:

$$2x + 1 \neq 0$$

Таким образом, $x \neq -0.5$.

$x + \frac{2}{1 + \frac{x + 2}{x — 1}} \neq 0 \quad | \cdot (x — 1)$;

Раскроем скобки:

$$x(x — 1) + x(x + 2) + 2(x — 1) \neq 0$$

Упростим:

$$2x^2 + 3x — 2 \neq 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = 0.5$$

Ответ: 1) нет; 2) $x \neq \pm 0.5$; $-2$; $1$.