ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 411 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Функции заданы формулами:

$y=\frac{1}{x^2+1}$;

$y=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$;

$y=\frac{x^2}{x^2+1}$;

$y=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$.

Для каждой функции определите, пересекает ли её график ось $x$, и если пересекает, то в каких точках.

График функции пересекает ось $x$ в точках с ординатами, равными нулю:

1) $\frac{1}{x^2+1}=0$;

Решений нет;

Ответ: не пересекает.

2) $\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0\mathrm{\mid }\cdot (x-1)(x+1)$;

$x+1+x-1=0$;

$2x=0$, отсюда $x=0$;

Функция определена при:

$x-1\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }1$;

$x+1\mathrm{\ne }0$, отсюда $x\mathrm{\ne }-1$;

Ответ: пересекает в точке $(0;0)$.

3) $\frac{x^2}{x^2 + 1} = 0$;

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;
Функция определена при:
$x^2 + 1 \ne 0$;
$x^2 \ne -1$ – решений нет.
Ответ: пересекает в точке $(0; 0)$.

4)  $\frac{1}{x — 1} — \frac{1}{x + 1} = 0$ $| \cdot (x — 1)(x + 1)$;

$x + 1 — (x — 1) = 0$;
$x + 1 — x + 1 = 0$;
$2 = 0$ – решений нет;
Ответ: не пересекает.

1) Для функции:

$$y=\frac{1}{x^2+1}$$

Чтобы найти, пересекает ли график этой функции ось $x$, нужно найти такие значения $x$, при которых $y=0$. То есть решим уравнение:

$$\frac{1}{x^2+1}=0$$

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю. Однако числитель функции $1$ всегда равен 1, а значит, дробь не может быть равна нулю для любого значения $x$.

Таким образом, у этого уравнения нет решений.

Ответ: график не пересекает ось $x$.

2) Для функции:

$$y=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$$

Чтобы найти пересечения графика с осью $x$, приравняем функцию к нулю:

$$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=0$$

Умножим обе части уравнения на $(x-1)(x+1)$, чтобы избавиться от знаменателей. После умножения у нас получится:

$$(x-1)(x+1)\cdot (\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1})=(x-1)(x+1)\cdot 0$$

Раскрываем скобки:

$$(x+1)+(x-1)=0$$

Упростим левую часть:

$$x+1+x-1=0$$$$2x=0$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x=0$$

Теперь проверим, при каких значениях $x$ эта функция определена. Функция не определена, если знаменатели равны нулю. Рассмотрим два знаменателя:

$$x-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }1$$$$x+1\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-1$$

Ответ: функция пересекает ось $x$ в точке $(0;0)$.

3) $\frac{x^2}{x^2 + 1} = 0$; детальный разбор условия равенства нулю для дробно-рациональной функции: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю, то есть требуется одновременно $x^2 = 0$ и $x^2 + 1 \ne 0$. Решение уравнения числителя даёт $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Проверка допустимости найденного значения по знаменателю: $x^2 + 1$ при любом вещественном $x$ строго положительно, так как $x^2 \ge 0$ и $x^2 + 1 \ge 1 > 0$; в частности, при $x = 0$ получаем $0^2 + 1 = 1 \ne 0$, следовательно найденное $x = 0$ не нарушает область определения. Дополнительно фиксируем область определения всей функции: она задаётся условием $x^2 + 1 \ne 0$, что эквивалентно отсутствию вещественных решений у равенства $x^2 = -1$; таких $x$ нет в $\mathbb{R}$, поэтому область определения равна всем вещественным числам. Итог множества решений уравнения $\frac{x^2}{x^2 + 1} = 0$ есть одно значение $x = 0$. Точка пересечения графика с осью абсцисс определяется подстановкой найденного значения в функцию: $y = \frac{0^2}{0^2 + 1} = 0$, значит точка пересечения имеет координаты $(0; 0)$.

4) $\frac{1}{x — 1} — \frac{1}{x + 1} = 0$ $| \cdot (x — 1)(x + 1)$; прежде чем умножать на общий знаменатель, задаём область допустимых значений равенством ненулёвости знаменателей: требуется $x — 1 \ne 0$ и $x + 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$ и $x \ne -1$. Умножение обеих частей уравнения на $(x — 1)(x + 1)$ допустимо на этой области и сохраняет эквивалентность: получаем $(x + 1) — (x — 1) = 0$. Приводим подобные слагаемые: $x + 1 — x + 1 = 0 \Rightarrow 2 = 0$, что является противоречием и не может выполняться ни при каких $x$. Эквивалентная проверка через сведение к общей дроби даёт ту же невозможность: $\frac{1}{x — 1} — \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) — (x — 1)}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{2}{x^2 — 1}$, уравнение $\frac{2}{x^2 — 1} = 0$ не имеет решений, поскольку числитель $2$ никогда не равен нулю, а знаменатель $x^2 — 1 \ne 0$ по области допустимых значений. Следовательно, решений нет и пересечений графика с осью абсцисс не существует.$\frac{{}^{}}{}$$\frac{\mathrm{}}{}$