ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 409 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнений (408—409):

а) $\frac{x^2}{x + 4} = \frac{x}{x + 1}$;

б) $\frac{x^3 + 3}{x} = 3x + 1$;

в) $\frac{x^2}{x^2 + 4} — \frac{1}{x^2 — 2} = 0$;

г) $\frac{x}{x — 2} + \frac{x^2}{2x — 9} = 0$.

а) $\frac{x^2}{x + 4} = \frac{x}{x + 1} \quad | \cdot (x + 4)(x + 1)$;

$x^2(x + 1) = x(x + 4)$;

$x^3 + x^2 = x^2 + 4x$;

$x^3 — 4x = 0$;

$x(x^2 — 4) = 0$;

$x(x — 2)(x + 2) = 0$, тогда:

$x = 0$;

$x — 2 = 0$, отсюда $x = 2$;

$x + 2 = 0$, отсюда $x = -2$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 4 \neq 0$, отсюда $x \neq -4$;

$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;

Ответ: $0$; $\pm 2$.

б) $\frac{x^3 + 3}{x} = 3x + 1 \quad | \cdot x$;

$x^3 + 3 = 3x^2 + x$;

$x^3 — x — 3x^2 + 3 = 0$;

$x(x^2 — 1) — 3(x^2 — 1) = 0$;

$(x — 3)(x^2 — 1) = 0$, тогда:

$x — 3 = 0$, отсюда $x = 3$;

$x — 1 = 0$, отсюда $x = 1$;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0$;

Ответ: $3$; $\pm 1$.

в) $\frac{x^2}{x^2 + 4} — \frac{1}{x^2 — 2} = 0$;

$\frac{x^2}{x^2 + 4} = \frac{1}{x^2 — 2}$;

$x^2(x^2 — 2) = x^2 + 4$;

$x^4 — 2x^2 = x^2 + 4$;

$x^4 — 3x^2 — 4 = 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:

$y^2 — 3y — 4 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;

1. $x^2 = -1$ — корней нет;
2. $x^2 = 4$, отсюда $x = \pm 2$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq -4$ — корней нет;

$x^2 — 2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 2$, отсюда $x = \pm \sqrt{2}$;

Ответ: $\pm 2$.

г) $\frac{x}{x — 2} + \frac{x^2}{2x — 9} = 0$;

$\frac{x}{x — 2} = -\frac{x^2}{2x — 9}$;

$x(2x — 9) = -x^2(x — 2)$;

$2x^2 — 9x = -x^3 + 2x^2$;

$x^3 — 9x = 0$;

$x(x^2 — 9) = 0$, тогда:

$x = 0$;

$x — 3 = 0$, отсюда $x = 3$;

$x + 3 = 0$, отсюда $x = -3$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$2x — 9 \neq 0$, отсюда $x \neq \frac{9}{2} = 4.5$;

Ответ: $0$; $\pm 3$.

а) Для уравнения:

$$\frac{x^2}{x + 4} = \frac{x}{x + 1} \quad | \cdot (x + 4)(x + 1)$$

Умножим обе части уравнения на $(x + 4)(x + 1)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$(x + 4)(x + 1) \cdot \frac{x^2}{x + 4} = (x + 4)(x + 1) \cdot \frac{x}{x + 1}$$

После сокращения получаем:

$$x^2(x + 1) = x(x + 4)$$

Раскроем скобки:

$$x^2(x + 1) = x^3 + x^2$$ $$x(x + 4) = x^2 + 4x$$

Подставляем раскрытые скобки в уравнение:

$$x^3 + x^2 = x^2 + 4x$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^3 + x^2 — x^2 — 4x = 0$$

Упростим:

$$x^3 — 4x = 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x^2 — 4) = 0$$

Теперь раскроем скобки и найдем корни:

$$x(x — 2)(x + 2) = 0$$

Решаем это уравнение:

$$x = 0, \quad x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2, \quad x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$$x + 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -4$$ $$x + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -1$$

Ответ: $0$; $\pm 2$.

б) Для уравнения:

$$\frac{x^3 + 3}{x} = 3x + 1 \quad | \cdot x$$

Умножим обе стороны уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$x \cdot \frac{x^3 + 3}{x} = x \cdot (3x + 1)$$

После сокращений получаем:

$$x^3 + 3 = 3x^2 + x$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^3 + 3 — 3x^2 — x = 0$$

Упрощаем:

$$x^3 — 3x^2 — x + 3 = 0$$

Группируем и выносим общий множитель:

$$x^2(x — 3) — 1(x — 3) = 0$$

Вынесем $(x — 3)$ за скобки:

$$(x — 3)(x^2 — 1) = 0$$

Раскроем $x^2 — 1$ как разность квадратов:

$$(x — 3)(x — 1)(x + 1) = 0$$

Решаем уравнение:

$$x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$ $$x — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$ $$x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$$x \neq 0$$

Ответ: $3$; $\pm 1$.

в) Для уравнения:

$$\frac{x^2}{x^2 + 4} — \frac{1}{x^2 — 2} = 0$$

Переносим вторую дробь на правую сторону:

$$\frac{x^2}{x^2 + 4} = \frac{1}{x^2 — 2}$$

Умножим обе части на $(x^2 + 4)(x^2 — 2)$:

$$x^2(x^2 — 2) = (x^2 + 4)$$

Раскроем скобки:

$$x^2(x^2 — 2) = x^4 — 2x^2$$ $$x^2 + 4 = x^2 + 4$$

Подставляем:

$$x^4 — 2x^2 = x^2 + 4$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^4 — 3x^2 — 4 = 0$$

Подставим $y = x^2$:

$$y^2 — 3y — 4 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{(корней нет)}$$ $$y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Из уравнения $x^2 = 4$ получаем:

$$x = \pm 2$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$$x^2 + 4 \neq 0 \quad \text{(всегда верно)}$$ $$x^2 — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm \sqrt{2}$$

Ответ: $\pm 2$.

г) Для уравнения:

$$\frac{x}{x — 2} + \frac{x^2}{2x — 9} = 0$$

Переносим вторую дробь на правую сторону:

$$\frac{x}{x — 2} = -\frac{x^2}{2x — 9}$$

Умножим обе части на $(x — 2)(2x — 9)$:

$$x(2x — 9) = -x^2(x — 2)$$

Раскроем скобки:

$$x(2x — 9) = 2x^2 — 9x$$ $$-x^2(x — 2) = -x^3 + 2x^2$$

Подставим все выражения:

$$2x^2 — 9x = -x^3 + 2x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^3 — 9x = 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(x^2 — 9) = 0$$

Теперь раскроем $x^2 — 9$ как разность квадратов:

$$x(x — 3)(x + 3) = 0$$

Решаем уравнение:

$$x = 0$$ $$x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$ $$x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$$x — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 2$$ $$2x — 9 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4.5$$

Ответ: $0$; $\pm 3$.