ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 408 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнений (408—409):

а) $\frac{x^2 — 4}{(x^2 — 3x + 2)(x^2 — 2x — 3)} = 0$;

б) $\frac{x^2 — 7x + 6}{x^3 — 2x^2 + 1} = 0$;

в) $\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 — 1)} = 0$;

г) $\frac{2x^2 — 2}{(x^2 — 2x + 2)^2} = 0$.

а) $\frac{x^2 — 4}{(x^2 — 3x + 2)(x^2 — 2x — 3)} = 0$;

$x^2 — 4 = 0$;

$x^2 = 4$, отсюда $x = \pm 2$;

Выражение имеет смысл при:

1. $x^2 — 3x + 2 \neq 0$;

$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:

$x_1 \neq \frac{3 — 1}{2} = 1$ и $x_2 \neq \frac{3 + 1}{2} = 2$;

2. $x^2 — 2x — 3 \neq 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$x_1 \neq \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 \neq \frac{2 + 4}{2} = 3$;

Ответ: $-2$.

б) $\frac{x^2 — 7x + 6}{x^3 — 2x^2 + 1} = 0$;

$x^2 — 7x + 6 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6$;

Выражение имеет смысл при:

$x^3 — 2x^2 + 1 \neq 0$;

$x(x^2 — x — 1) — (x^2 — x — 1) \neq 0$;

$(x — 1)(x^2 — x — 1) \neq 0$;

1. $x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;
2. $x^2 — x — 1 \neq 0$;

$D = 1^2 + 4 = 1 + 4 = 5$, тогда:

$x \neq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$;

Ответ: $6$.

в) $\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 — 1)} = 0$;

$x^2 + 2x + 1 = 0$;

$(x + 1)^2 = 0$;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

Выражение имеет смысл при:

$(x^2 + 1)(x^2 — 1) \neq 0$;

$x^4 — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq \pm 1$;

Ответ: корней нет.

г) $\frac{2x^2 — 2}{(x^2 — 2x + 2)^2} = 0$;

$2x^2 — 2 = 0$;

$2(x^2 — 1) = 0$;

$x^2 — 1 = 0$, отсюда $x = \pm 1$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 — 2x + 2 \neq 0$;

$D = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$, значит корней нет;

Ответ: $\pm 1$.

а) Для уравнения:

$$\frac{x^2 — 4}{(x^2 — 3x + 2)(x^2 — 2x — 3)} = 0$$

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому сначала решим уравнение для числителя:

$$x^2 — 4 = 0$$

Переносим $4$ на правую сторону:

$$x^2 = 4$$

Извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$x = \pm 2$$

Теперь проверим, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл. Это произойдет, если знаменатели $(x^2 — 3x + 2)$ и $(x^2 — 2x — 3)$ не равны нулю.

Для первого знаменателя $x^2 — 3x + 2 \neq 0$:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Найдем корни:

$$x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{3-1}{2}=1$$

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 1}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

Следовательно, $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

Для второго знаменателя $x^2 — 2x — 3 \neq 0$:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Найдем корни:

$$x_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1$$

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Следовательно, $x \neq -1$ и $x \neq 3$.

Проверим найденные значения $x = \pm 2$ на возможность удовлетворения этим ограничениям:

$x = 2$ исключается, так как он является корнем уравнения $x^2 — 3x + 2 = 0$.

Таким образом, оставшийся корень:

Ответ: $x = -2$.

б) Для уравнения:

$$\frac{x^2 — 7x + 6}{x^3 — 2x^2 + 1} = 0$$

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю. Начнем с числителя:

$$x^2 — 7x + 6 = 0$$

Найдем дискриминант для этого уравнения:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 — 24 = 25$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{7-5}{2}=1$$

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 5}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = 6$$

Теперь проверим, когда знаменатель $x^3 — 2x^2 + 1$ не равен нулю.

Проверим, что знаменатель не равен нулю:

$$x^3 — 2x^2 + 1 = 0$$

Для этого рассмотрим возможные значения $x = 1$ и $x = 6$, так как они были получены из числителя.

При $x = 1$:

$$1^3 — 2 \cdot 1^2 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0$$

Это значение $x = 1$ делает знаменатель равным нулю, поэтому оно исключается.

При $x = 6$:

$$6^3 — 2 \cdot 6^2 + 1 = 216 — 72 + 1 = 145 \neq 0$$

Следовательно, выражение имеет смысл при $x = 6$.

Ответ: $6$.

в) Для уравнения:

$$\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 — 1)} = 0$$

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю. Начнем с числителя:

$$x^2 + 2x + 1 = 0$$

Это можно записать как:

$$(x + 1)^2 = 0$$

Из этого получаем:

$$x + 1 = 0, \quad x = -1$$

Теперь проверим, когда знаменатель $(x^2 + 1)(x^2 — 1)$ не равен нулю.

Знаменатель не равен нулю, если:

$$(x^2 + 1)(x^2 — 1) \neq 0$$

Поскольку $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней (так как для любого $x$, $x^2 + 1 > 0$), то нам нужно проверить, что $x^2 — 1 \neq 0$, что даёт $x \neq \pm 1$.

Поскольку $x = -1$ является корнем числителя, а знаменатель не равен нулю при $x = -1$, получаем, что корней нет.

Ответ: корней нет.

г) Для уравнения:

$$\frac{2x^2 — 2}{(x^2 — 2x + 2)^2} = 0$$

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю. Начнем с числителя:

$$2x^2 — 2 = 0$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x^2 — 1 = 0$$

Решим это уравнение:

$$x^2 = 1, \quad x = \pm 1$$

Теперь проверим, когда знаменатель $(x^2 — 2x + 2)^2$ не равен нулю.

Для знаменателя:

$$x^2 — 2x + 2 \neq 0$$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у уравнения нет действительных корней, и знаменатель всегда положителен для всех $x$.

Ответ: $\pm 1$.