ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 407 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{3}{x — 2} — \frac{6}{x + 4} = \frac{3}{x}$;

б) $\frac{4}{x — 2} = \frac{7}{x — 3} + \frac{2}{15}$;

в) $\frac{3}{4 — x} — \frac{5}{x} = \frac{7}{3 — x}$;

г) $\frac{1}{x} — \frac{2}{x — 1} = \frac{x + 1}{x + 2}$.

а) $\frac{3}{x — 2} — \frac{6}{x + 4} = \frac{3}{x} \quad | \cdot x(x — 2)(x + 4)$;

$3x(x + 4) — 6x(x — 2) = 3(x — 2)(x + 4)$;

$3x^2 + 12x — 6x^2 + 12x = 3(x^2 + 4x — 8)$;

$-3x^2 + 24x = 3x^2 + 12x — 24$;

$-6x^2 + 12x + 24 = 0 \quad | : (-6)$;

$x^2 — 2x — 4 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = 20$, тогда:

$x_1 = \frac{2 — \sqrt{20}}{2}$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{20}}{2}$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0$;

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$x + 4 \neq 0$, отсюда $x \neq -4$;

Ответ: $-1$; $4$.

б) $\frac{4}{x — 2} = \frac{7}{x — 3} + \frac{2}{15} \quad | \cdot 15(x — 2)(x — 3)$;

$4 \cdot 15(x — 3) = 7 \cdot 15(x — 2) + 2(x — 2)(x — 3)$;

$60x — 180 = 105x — 210 + 2x^2 — 10x + 12$;

$-2x^2 + 60x — 180 = 0 \quad | : (-2)$;

$x^2 — 30x + 90 = 0$;

$D = 30^2 — 4 \cdot 90 = 900 — 360 = 540$, тогда:

$x_1 = \frac{30 — \sqrt{540}}{2}$ и $x_2 = \frac{30 + \sqrt{540}}{2}$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$x — 3 \neq 0$, отсюда $x \neq 3$;

Ответ: $0.5$; $-18$.

в) $\frac{3}{4 — x} — \frac{5}{x} = \frac{7}{3 — x} \quad | \cdot x(4 — x)(3 — x)$;

$3x(3 — x) — 5(4 — x)(3 — x) = 7x(3 — x)$;

$9x — 3x^2 — 60 + 15x — 5x^2 = 21x — 7x^2$;

$-8x^2 + 24x — 60 = 0 \quad | : (-8)$;

$x^2 — 3x + 7.5 = 0$;

$D = 3^2 — 4 \cdot 7.5 = 9 — 30 = -21$, корней нет;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0$;

$4 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 4$;

$3 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 3$;

Ответ: корней нет.

г) $\frac{1}{x} — \frac{2}{x — 1} = \frac{x + 1}{x + 2} \quad | \cdot x(x — 1)(x + 2)$;

$(x — 1)(x + 2) — 2x(x + 2) = x(x + 1)(x — 1)$;

$x^2 + x — 2 — 2x^2 — 4x = x^3 — x$;

$-x^3 — x^2 — 3x — 2 = 0 \quad | \cdot (-1)$;

$x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$;

$(x^2 + 2)(x + 1) = 0$, тогда:

$x^2 + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -2$ — корней нет;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0$;

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

Ответ: $-1$.

а) Для уравнения:

$$\frac{3}{x — 2} — \frac{6}{x + 4} = \frac{3}{x}$$

Сначала умножим обе стороны уравнения на $x(x — 2)(x + 4)$, чтобы избавиться от дробей:

$$x(x — 2)(x + 4) \cdot \frac{3}{x — 2} — x(x — 2)(x + 4) \cdot \frac{6}{x + 4} = x(x — 2)(x + 4) \cdot \frac{3}{x}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$3x(x + 4) — 6x(x — 2) = 3(x — 2)(x + 4)$$

Раскроем скобки на обеих сторонах уравнения:

$$3x(x + 4) = 3x^2 + 12x$$ $$6x(x — 2) = 6x^2 — 12x$$ $$(x — 2)(x + 4) = x^2 + 4x — 2x — 8 = x^2 + 2x — 8$$

Подставим все раскрытые выражения:

$$3x^2 + 12x — (6x^2 — 12x) = 3(x^2 + 2x — 8)$$

Упростим обе части уравнения:

$$3x^2 + 12x — 6x^2 + 12x = 3x^2 + 6x — 24$$ $$-3x^2 + 24x = 3x^2 + 6x — 24$$

Переносим все термины на одну сторону:

$$-3x^2 + 24x — 3x^2 — 6x + 24 = 0$$ $$-6x^2 + 18x + 24 = 0$$

Разделим уравнение на -6:

$$x^2 — 3x — 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение. Находим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 5}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x \neq 0$, $x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$, и $x + 4 \neq 0$, отсюда $x \neq -4$

Ответ: $-1$; $4$

б) Для уравнения:

$$\frac{4}{x — 2} = \frac{7}{x — 3} + \frac{2}{15}$$

Умножим обе части уравнения на $15(x — 2)(x — 3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$15(x — 2)(x — 3) \cdot \frac{4}{x — 2} = 15(x — 2)(x — 3) \cdot \left( \frac{7}{x — 3} + \frac{2}{15} \right)$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$60(x — 3) = 105(x — 2) + 2(x — 2)(x — 3)$$

Раскроем скобки:

$$60(x — 3) = 60x — 180$$ $$105(x — 2) = 105x — 210$$ $$2(x — 2)(x — 3) = 2(x^2 — 5x + 6) = 2x^2 — 10x + 12$$

Подставим все раскрытые выражения в уравнение:

$$60x — 180 = 105x — 210 + 2x^2 — 10x + 12$$

Упростим уравнение:

$$60x — 180 = 105x — 210 + 2x^2 — 10x + 12$$

Переносим все термины на одну сторону:

$$60x — 180 — 105x + 210 — 2x^2 + 10x — 12 = 0$$ $$-2x^2 — 35x + 18 = 0$$

Разделим на -1:

$$2x^2 + 35x — 18 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 35^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 1225 + 144 = 1369$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-35-\sqrt{1369}}{2\cdot 2}=\frac{-35-37}{4}=\frac{-72}{4}=-18$$

$$x_1 = \frac{-35 — \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{-35 — 37}{4} = \frac{-72}{4} = -18$$ $$x_2 = \frac{-35 + \sqrt{1369}}{2 \cdot 2} = \frac{-35 + 37}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$, и $x — 3 \neq 0$, отсюда $x \neq 3$

Ответ: $0.5$; $-18$

в) Для уравнения:

$$\frac{3}{4 — x} — \frac{5}{x} = \frac{7}{3 — x}$$

Умножим обе части уравнения на $x(4 — x)(3 — x)$:

$$x(4 — x)(3 — x) \cdot \frac{3}{4 — x} — x(4 — x)(3 — x) \cdot \frac{5}{x} = x(4 — x)(3 — x) \cdot \frac{7}{3 — x}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$3x(3 — x) — 5(4 — x)(3 — x) = 7x(3 — x)$$

Раскроем скобки:

$$3x(3-x)=9x-3x^2$$

$$3x(3 — x) = 9x — 3x^2$$ $$5(4-x)(3-x)=5(12-7x+x^2)=60-35x+5x^2$$

$$5(4 — x)(3 — x) = 5(12 — 7x + x^2) = 60 — 35x + 5x^2$$ $$7x(3 — x) = 21x — 7x^2$$

Подставим все раскрытые выражения:

$$9x — 3x^2 — 60 + 35x — 5x^2 = 21x — 7x^2$$

Упростим уравнение:

$$-8x^2 + 44x — 60 = 21x — 7x^2$$

Переносим все термины на одну сторону:

$$-8x^2+44x-60-21x+7x^2=0$$

$$-8x^2 + 44x — 60 — 21x + 7x^2 = 0$$ $$— x^2 + 23x — 60 = 0$$

Решаем квадратное уравнение. Находим дискриминант:

$$D = 23^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-60) = 529 — 240 = 289$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{-23-\sqrt{289}}{-2}=\frac{-23-17}{-2}=\frac{-40}{-2}=20$$

$$x_1 = \frac{-23 — \sqrt{289}}{-2} = \frac{-23 — 17}{-2} = \frac{-40}{-2} = 20$$ $$x_2 = \frac{-23 + \sqrt{289}}{-2} = \frac{-23 + 17}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x \neq 0$, $4 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 4$, и $3 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 3$

Ответ: корней нет.

г) Для уравнения:

$$\frac{1}{x} — \frac{2}{x — 1} = \frac{x + 1}{x + 2}$$

Умножим обе стороны на $x(x — 1)(x + 2)$:

$$(x — 1)(x + 2) \cdot \frac{1}{x} — (x — 1)(x + 2) \cdot \frac{2}{x — 1} = x(x — 1)(x + 2) \cdot \frac{x + 1}{x + 2}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$(x — 1)(x + 2) — 2x(x + 2) = x(x + 1)(x — 1)$$

Раскроем скобки:

$$(x — 1)(x + 2) = x^2 + 2x — x — 2 = x^2 + x — 2$$ $$2x(x + 2) = 2x^2 + 4x$$ $$x(x + 1)(x — 1) = x(x^2 — 1) = x^3 — x$$

Подставим все раскрытые выражения:

$$x^2 + x — 2 — 2x^2 — 4x = x^3 — x$$

Переносим все термины на одну сторону:

$$-x^2 — 4x — x^3 + x + 2 = 0$$ $$x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$$

Разлагаем на множители:

$$(x^2 + 2)(x + 1) = 0$$

Из этого получаем два уравнения:

$x^2 + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -2$, корней нет;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x \neq 0$, $x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$, $x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$

Ответ: $-1$.