ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 406 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x^2 + 2x}$;

б) $\frac{6}{x — 2} + \frac{2}{x} = \frac{x — 3}{x^2 — 2x}$;

в) $\frac{x — 1}{x} — \frac{1}{x — 6} = \frac{6}{6x — x^2}$;

г) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x — 5} = \frac{x — 20}{5x — x^2}$.

а) $\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x^2 + 2x}$;

$$\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x(x + 2)} \quad | \cdot x(x + 2);$$

$6(x + 2) + x(x + 3) = 4x + 6$;

$6x + 12 + x^2 + 3x = 4x + 6$;

$x^2 + 6x + 3x — 4x + 12 — 6 = 0$;

$x^2 + 5x + 6 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

$x \neq 0$;

Ответ: $-3$.

б) $\frac{6}{x — 2} + \frac{2}{x} = \frac{x — 3}{x^2 — 2x}$;

$$\frac{6}{x — 2} + \frac{2}{x} = \frac{x — 3}{x(x — 2)} \quad | \cdot x(x — 2);$$

$6x + 2(x — 2) = x — 3$;

$6x + 2x — 4 = x — 3$;

$6x + 2x — x = -3 + 4$;

$7x = 1$, отсюда $x = \frac{1}{7}$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$x \neq 0$;

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) $\frac{x — 1}{x} — \frac{1}{x — 6} = \frac{6}{6x — x^2}$;

$$\frac{x — 1}{x} — \frac{1}{x — 6} = \frac{6}{x(6 — x)} \quad | \cdot x(6 — x);$$

$(6 — x)(x — 1) + x = 6$;

$6x — 6 — x^2 + x + x — 6 = 0$;

$-x^2 + 8x — 12 = 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{-8 — 4}{-2} = 6$ и $x_2 = \frac{-8 + 4}{-2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$6 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 6$;

$x \neq 0$;

Ответ: $2$.

г) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x — 5} = \frac{x — 20}{5x — x^2}$;

$$\frac{4}{x} + \frac{3}{x — 5} = \frac{x — 20}{x(5 — x)} \quad | \cdot x(5 — x);$$

$4(5 — x) — 3x = x — 20$;

$20 — 4x — 3x = x — 20$;

$-4x — 3x — x = -20 — 20$;

$-8x = -40$, отсюда $x = 5$;

Выражение имеет смысл при:

$5 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 5$;

$x \neq 0$;

Ответ: корней нет.

а) Для уравнения:

$$\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x^2 + 2x}$$

Преобразуем правую часть: $x^2 + 2x = x(x + 2)$, уравнение примет вид:

$$\frac{6}{x} + \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{4x + 6}{x(x + 2)}$$

Умножаем обе стороны уравнения на $x(x + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$x(x + 2) \cdot \frac{6}{x} + x(x + 2) \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = x(x + 2) \cdot \frac{4x + 6}{x(x + 2)}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$6(x + 2) + x(x + 3) = 4x + 6$$

Раскроем скобки:

$$6(x + 2) = 6x + 12$$ $$x(x + 3) = x^2 + 3x$$

Подставляем раскрытые скобки в уравнение:

$$6x + 12 + x^2 + 3x = 4x + 6$$

Переносим все термины на одну сторону уравнения:

$$x^2 + 6x + 3x — 4x + 12 — 6 = 0$$ $$x^2 + 5x + 6 = 0$$

Решаем квадратное уравнение. Для этого находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-5-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{-5-1}{2}=-3$$

$$x_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 — 1}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

$x \neq 0$;

Ответ: $-3$.

б) Для уравнения:

$$\frac{6}{x — 2} + \frac{2}{x} = \frac{x — 3}{x^2 — 2x}$$

Преобразуем правую часть: $x^2 — 2x = x(x — 2)$, уравнение примет вид:

$$\frac{6}{x — 2} + \frac{2}{x} = \frac{x — 3}{x(x — 2)}$$

Умножаем обе стороны уравнения на $x(x — 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$x(x — 2) \cdot \frac{6}{x — 2} + x(x — 2) \cdot \frac{2}{x} = x(x — 2) \cdot \frac{x — 3}{x(x — 2)}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$6x + 2(x — 2) = x — 3$$

Раскроем скобки:

$$2(x — 2) = 2x — 4$$

Подставляем раскрытые скобки в уравнение:

$$6x + 2x — 4 = x — 3$$

Переносим все термины на одну сторону уравнения:

$$6x + 2x — x = -3 + 4$$ $$7x = 1$$

Находим корень уравнения:

$$x = \frac{1}{7}$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$x \neq 0$;

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) Для уравнения:

$$\frac{x — 1}{x} — \frac{1}{x — 6} = \frac{6}{6x — x^2}$$

Преобразуем правую часть: $6x — x^2 = x(6 — x)$, уравнение примет вид:

$$\frac{x — 1}{x} — \frac{1}{x — 6} = \frac{6}{x(6 — x)}$$

Умножаем обе стороны уравнения на $x(6 — x)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$x(6 — x) \cdot \frac{x — 1}{x} — x(6 — x) \cdot \frac{1}{x — 6} = x(6 — x) \cdot \frac{6}{x(6 — x)}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$(6 — x)(x — 1) + x = 6$$

Раскроем скобки:

$$(6 — x)(x — 1) = 6x — 6 — x^2 + x$$ $$x = x$$

Подставляем раскрытые выражения в уравнение:

$$6x — 6 — x^2 + x + x — 6 = 0$$

Упростим уравнение:

$$-x^2 + 8x — 12 = 0$$

Решаем квадратное уравнение. Для этого находим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-12) = 64 — 48 = 16$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-8-\sqrt{16}}{-2}=\frac{-8-4}{-2}=6$$

$$x_1 = \frac{-8 — \sqrt{16}}{-2} = \frac{-8 — 4}{-2} = 6$$ $$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{-2} = \frac{-8 + 4}{-2} = 2$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$6 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 6$;

$x \neq 0$;

Ответ: $2$.

г) Для уравнения:

$$\frac{4}{x} + \frac{3}{x — 5} = \frac{x — 20}{5x — x^2}$$

Преобразуем правую часть: $5x — x^2 = x(5 — x)$, уравнение примет вид:

$$\frac{4}{x} + \frac{3}{x — 5} = \frac{x — 20}{x(5 — x)}$$

Умножаем обе стороны уравнения на $x(5 — x)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$x(5 — x) \cdot \frac{4}{x} + x(5 — x) \cdot \frac{3}{x — 5} = x(5 — x) \cdot \frac{x — 20}{x(5 — x)}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$4(5 — x) + 3x = x — 20$$

Раскроем скобки:

$$4(5 — x) = 20 — 4x$$

Подставляем раскрытые скобки в уравнение:

$$20 — 4x + 3x = x — 20$$

Переносим все термины на одну сторону уравнения:

$$-4x+3x-x=-20-20$$

$$-4x + 3x — x = -20 — 20$$ $$-8x = -40$$

Находим корень уравнения:

$$x = 5$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$5 — x \neq 0$, отсюда $x \neq 5$;

$x \neq 0$;

Ответ: корней нет.