ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 405 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x — 1} = \frac{4}{x^2 — 1}$;

б) $\frac{4 — x}{x + 2} + \frac{x — 1}{x — 2} = \frac{x^2}{x^2 — 4}$;

в) $\frac{2x}{x + 3} — \frac{x}{3 — x} = \frac{9}{4x^2 — 36}$;

г) $\frac{5}{x^2 — 4} + \frac{x}{2 — x} = \frac{2x}{x + 2}$.

Решите уравнение:

а) $\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x — 1} = \frac{4}{x^2 — 1}$;

$$\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x — 1} = \frac{4}{(x — 1)(x + 1)} \quad | \cdot (x — 1)(x + 1);$$

$(x + 2)(x — 1) + (x + 3)(x + 1) = 4$;

$x^2 — x + 2x — 2 + x^2 + x + 3x + 3 — 4 = 0$;

$2x^2 + 5x — 3 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49$, тогда:

$x_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = -3$ и $x_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = 0.5$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;

Ответ: $-3$; $0.5$.

б) $\frac{4 — x}{x + 2} + \frac{x — 1}{x — 2} = \frac{x^2}{x^2 — 4}$;

$$\frac{4 — x}{x + 2} + \frac{x — 1}{x — 2} = \frac{x^2}{(x — 2)(x + 2)} \quad | \cdot (x — 2)(x + 2);$$

$(4 — x)(x — 2) + (x — 1)(x + 2) = x^2$;

$4x — 8 — x^2 + 2x + x^2 + 2x — x — 2 = 0$;

$-x^2 + 7x — 10 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{-7 — 3}{-2} = 5$ и $x_2 = \frac{-7 + 3}{-2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

Ответ: $5$.

в) $\frac{2x}{x + 3} — \frac{x}{3 — x} = \frac{9}{4(x^2 — 9)}$;

$$\frac{2x}{x + 3} — \frac{x}{3 — x} = \frac{9}{4(x — 3)(x + 3)} \quad | \cdot 4(x — 3)(x + 3);$$

$4 \cdot 2x(x — 3) + 4x(x + 3) = 9$;

$8x^2 — 24x + 4x^2 + 12x — 9 = 0$;

$12x^2 — 12x — 9 = 0 \quad | : 3$;

$4x^2 — 4x — 3 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$, тогда:

$x_1 = \frac{4 — 8}{2 \cdot 4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 4} = 1.5$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 3 \neq 0$, отсюда $x \neq 3$;

$x + 3 \neq 0$, отсюда $x \neq -3$;

Ответ: $-0.5$; $1.5$.

г) $\frac{5}{x^2 — 4} + \frac{x}{2 — x} = \frac{2x}{x + 2}$;

$$\frac{5}{(x — 2)(x + 2)} — \frac{x}{x — 2} = \frac{2x}{x + 2} \quad | \cdot (x — 2)(x + 2);$$

$5 — x(x + 2) = 2x(x — 2)$;

$5 — x^2 — 2x = 2x^2 — 4x$;

$-x^2 — 2x^2 — 2x + 4x + 5 = 0$;

$-3x^2 + 2x + 5 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64$, тогда:

$x_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot (-3)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ и $x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot (-3)} = -1$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

Ответ: $\frac{5}{3}$; $-1$.

а) Для уравнения:

$$\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x — 1} = \frac{4}{x^2 — 1}$$

Сначала распишем знаменатель справа: $x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)$. Уравнение примет вид:

$$\frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x — 1} = \frac{4}{(x — 1)(x + 1)}$$

Умножим обе части уравнения на $(x — 1)(x + 1)$, чтобы избавиться от дробей:

$$(x — 1)(x + 1) \cdot \frac{x + 2}{x + 1} + (x — 1)(x + 1) \cdot \frac{x + 3}{x — 1} = (x — 1)(x + 1) \cdot \frac{4}{(x — 1)(x + 1)}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$(x + 2)(x — 1) + (x + 3)(x + 1) = 4$$

Раскроем скобки:

$$(x + 2)(x — 1) = x^2 — x + 2x — 2 = x^2 + x — 2$$ $$(x + 3)(x + 1) = x^2 + x + 3x + 3 = x^2 + 4x + 3$$

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$$x^2 + x — 2 + x^2 + 4x + 3 = 4$$

Упростим уравнение:

$$2x^2 + 5x + 1 = 4$$

Переносим все в одну сторону:

$$2x^2 + 5x + 1 — 4 = 0$$ $$2x^2 + 5x — 3 = 0$$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-5-\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-5-7}{4}=\frac{-12}{4}=-3$$

$$x_1 = \frac{-5 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 — 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$ $$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$

$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$

Ответ: $-3$; $0.5$.

б) Для уравнения:

$$\frac{4 — x}{x + 2} + \frac{x — 1}{x — 2} = \frac{x^2}{x^2 — 4}$$

Распишем знаменатель справа: $x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)$, уравнение станет:

$$\frac{4 — x}{x + 2} + \frac{x — 1}{x — 2} = \frac{x^2}{(x — 2)(x + 2)}$$

Умножим обе стороны на $(x — 2)(x + 2)$:

$$(x — 2)(x + 2) \cdot \frac{4 — x}{x + 2} + (x — 2)(x + 2) \cdot \frac{x — 1}{x — 2} = (x — 2)(x + 2) \cdot \frac{x^2}{(x — 2)(x + 2)}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$(4 — x)(x — 2) + (x — 1)(x + 2) = x^2$$

Раскроем скобки:

$$(4 — x)(x — 2) = 4x — 8 — x^2 + 2x = -x^2 + 6x — 8$$ $$(x — 1)(x + 2) = x^2 + 2x — x — 2 = x^2 + x — 2$$

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$$-x^2 + 6x — 8 + x^2 + x — 2 = x^2$$

Упростим уравнение:

$$7x — 10 = x^2$$

Переносим все в одну сторону:

$$7x — 10 — x^2 = 0$$ $$-x^2 + 7x — 10 = 0$$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-10) = 49 — 40 = 9$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-7-\sqrt{9}}{-2}=\frac{-7-3}{-2}=\frac{-10}{-2}=5$$

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{9}}{-2} = \frac{-7 — 3}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{-2} = \frac{-7 + 3}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$

Ответ: $5$.

в) Для уравнения:

$$\frac{2x}{x + 3} — \frac{x}{3 — x} = \frac{9}{4(x^2 — 9)}$$

Распишем знаменатель справа: $x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$, уравнение станет:

$$\frac{2x}{x + 3} — \frac{x}{3 — x} = \frac{9}{4(x — 3)(x + 3)}$$

Умножим обе стороны на $4(x — 3)(x + 3)$:

$$4(x — 3)(x + 3) \cdot \frac{2x}{x + 3} — 4(x — 3)(x + 3) \cdot \frac{x}{3 — x} = 9$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$8x(x — 3) + 4x(x + 3) = 9$$

Раскроем скобки:

$$8x(x — 3) = 8x^2 — 24x$$ $$4x(x + 3) = 4x^2 + 12x$$

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$$8x^2 — 24x + 4x^2 + 12x = 9$$

Упростим уравнение:

$$12x^2 — 12x = 9$$

Переносим все в одну сторону:

$$12x^2 — 12x — 9 = 0 \quad | : 3$$ $$4x^2 — 4x — 3 = 0$$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{64}}{2\cdot 4}=\frac{4-8}{8}=-0.5$$

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 — 8}{8} = -0.5$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = 1.5$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x — 3 \neq 0$, отсюда $x \neq 3$

$x + 3 \neq 0$, отсюда $x \neq -3$

Ответ: $-0.5$; $1.5$.

г) Для уравнения:

$$\frac{5}{x^2 — 4} + \frac{x}{2 — x} = \frac{2x}{x + 2}$$

Распишем знаменатель слева: $x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)$, уравнение станет:

$$\frac{5}{(x — 2)(x + 2)} + \frac{x}{2 — x} = \frac{2x}{x + 2}$$

Умножим обе стороны на $(x — 2)(x + 2)$:

$$(x — 2)(x + 2) \cdot \frac{5}{(x — 2)(x + 2)} + (x — 2)(x + 2) \cdot \frac{x}{2 — x} = (x — 2)(x + 2) \cdot \frac{2x}{x + 2}$$

После сокращений уравнение примет вид:

$$5 — x(x + 2) = 2x(x — 2)$$

Раскроем скобки:

$$5-x(x+2)=5-x^2-2x$$

$$5 — x(x + 2) = 5 — x^2 — 2x$$ $$2x(x — 2) = 2x^2 — 4x$$

Подставим раскрытые выражения в уравнение:

$$5 — x^2 — 2x = 2x^2 — 4x$$

Переносим все в одну сторону:

$$5-x^2-2x-2x^2+4x=0$$

$$5 — x^2 — 2x — 2x^2 + 4x = 0$$ $$-3x^2 + 2x + 5 = 0$$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 4 + 60 = 64$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-2-\sqrt{64}}{2\cdot (-3)}=\frac{-2-8}{-6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$$

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 — 8}{-6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 + 8}{-6} = \frac{6}{-6} = -1$$

Проверим, когда выражение имеет смысл:

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$

$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$

Ответ: $\frac{5}{3}$; $-1$.