ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 404 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Даны две дроби $\frac{a + 2}{a — 1}$ и $\frac{a — 1}{a + 2}$. Найдите значения переменной $a$, при которых:

а) значение первой дроби равно 10;

б) значение второй дроби равно 10;

в) значения этих дробей равны;

г) разность первой и второй дробей равна их произведению.

Дроби: $\frac{a + 2}{a — 1}$ и $\frac{a — 1}{a + 2}$.

а) Значение первой дроби равно 10:

$$\frac{a + 2}{a — 1} = 10 \quad | \cdot (a — 1);$$

$a + 2 = 10(a — 1);$

$a + 2 = 10a — 10;$

$a — 10a = -10 — 2;$

$-9a = -12,$ отсюда $a = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3};$

Выражение имеет смысл при:

$a — 1 \neq 0,$ отсюда $a \neq 1;$

Ответ: $1 \frac{1}{3}.$

б) Значение второй дроби равно 10:

$$\frac{a — 1}{a + 2} = 10 \quad | \cdot (a + 2);$$

$a — 1 = 10(a + 2);$

$a — 1 = 10a + 20;$

$a — 10a = 20 + 1;$

$-9a = 21,$ отсюда $a = -\frac{21}{9} = -\frac{7}{3} = -2 \frac{1}{3};$

Выражение имеет смысл при:

$a + 2 \neq 0,$ отсюда $a \neq -2;$

Ответ: $-2 \frac{1}{3}.$

в) Значения этих дробей равны:

$$\frac{a + 2}{a — 1} = \frac{a — 1}{a + 2} \quad | \cdot (a — 1)(a + 2);$$

$(a + 2)^2 = (a — 1)^2;$

$a^2 + 4a + 4 = a^2 — 2a + 1;$

$a^2 — a^2 + 4a + 2a = 1 — 4;$

$6a = -3,$ отсюда $a = -\frac{3}{6} = -0.5;$

Выражение имеет смысл при:

$a — 1 \neq 0,$ отсюда $a \neq 1;$

$a + 2 \neq 0,$ отсюда $a \neq -2;$

Ответ: $-0.5.$

г) Разность первой и второй дроби равна их произведению:

$$\frac{a+2}{a-1}-\frac{a-1}{a+2}=\frac{a+2}{a-1}\cdot \frac{a-1}{a+2};$$

$$\frac{a + 2}{a — 1} — \frac{a — 1}{a + 2} = \frac{a + 2}{a — 1} \cdot \frac{a — 1}{a + 2};$$ $$\frac{(a + 2)^2 — (a — 1)^2}{(a — 1)(a + 2)} = 1 \quad | \cdot (a — 1)(a + 2);$$

$(a + 2)^2 — (a — 1)^2 = (a — 1)(a + 2);$

$a^2 + 4a + 4 — a^2 + 2a — 1 = a^2 + 2a — a — 2;$

$-a^2 + 6a — a + 3 + 2 = 0;$

$-a^2 + 5a + 5 = 0;$

$D = 5^2 + 4 \cdot 5 = 25 + 20 = 45,$ тогда:

$a = \frac{-5 \pm \sqrt{45}}{-2} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{-2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2};$

Выражение имеет смысл при:

$a — 1 \neq 0,$ отсюда $a \neq 1;$

$a + 2 \neq 0,$ отсюда $a \neq -2;$

Ответ: $\frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}.$

a) Для первой дроби, значение которой равно 10:

Исходное уравнение:

$$\frac{a + 2}{a — 1} = 10$$

Умножаем обе части уравнения на $a — 1$, чтобы избавиться от дроби:

$$(a — 1) \cdot \frac{a + 2}{a — 1} = 10 \cdot (a — 1)$$

При этом, так как $a — 1 \neq 0$, мы можем сократить $a — 1$ на обеих сторонах, и остаемся с:

$$a + 2 = 10(a — 1)$$

Теперь раскрываем скобки на правой стороне:

$$a + 2 = 10a — 10$$

Переносим все элементы с $a$ в одну сторону и все числовые значения в другую:

$$a — 10a = -10 — 2$$

Это упрощается до:

$$-9a = -12$$

Теперь делим обе стороны на $-9$:

$$a = \frac{-12}{-9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$

Таким образом, $a = 1 \frac{1}{3}$.

б) Для второй дроби, значение которой равно 10:

Исходное уравнение:

$$\frac{a — 1}{a + 2} = 10$$

Умножаем обе части на $a + 2$, чтобы избавиться от дроби:

$$(a + 2) \cdot \frac{a — 1}{a + 2} = 10 \cdot (a + 2)$$

Сокращаем $a + 2$ с обеих сторон, и получаем:

$$a — 1 = 10(a + 2)$$

Теперь раскрываем скобки:

$$a — 1 = 10a + 20$$

Переносим все термины с $a$ в одну сторону и числовые значения в другую:

$$a — 10a = 20 + 1$$

Это упрощается до:

$$-9a = 21$$

Теперь делим обе стороны на $-9$:

$$a = -\frac{21}{9} = -\frac{7}{3}$$

Таким образом, $a = -2 \frac{1}{3}$.

в) Для равенства дробей:

Исходное уравнение:

$$\frac{a + 2}{a — 1} = \frac{a — 1}{a + 2}$$

Умножаем обе части на $(a — 1)(a + 2)$, чтобы избавиться от дробей:

$$(a — 1)(a + 2) \cdot \frac{a + 2}{a — 1} = (a — 1)(a + 2) \cdot \frac{a — 1}{a + 2}$$

Сокращаем $(a — 1)$ и $(a + 2)$ с обеих сторон, и получаем:

$$(a + 2)^2 = (a — 1)^2$$

Теперь раскрываем оба квадрата:

$$a^2 + 4a + 4 = a^2 — 2a + 1$$

Сокращаем одинаковые $a^2$ с обеих сторон:

$$4a + 4 = -2a + 1$$

Теперь переносим все термины с $a$ в одну сторону и числовые значения в другую:

$$4a + 2a = 1 — 4$$

Это упрощается до:

$$6a = -3$$

Теперь делим обе стороны на 6:

$$a = -\frac{3}{6} = -0.5$$

Таким образом, $a = -0.5$.

г) Для разности и произведения дробей:

Исходное уравнение:

$$\frac{a + 2}{a — 1} — \frac{a — 1}{a + 2} = \frac{a + 2}{a — 1} \cdot \frac{a — 1}{a + 2}$$

Применяем формулу разности квадратов для числителей:

$$\frac{(a + 2)^2 — (a — 1)^2}{(a — 1)(a + 2)} = 1$$

Теперь умножаем обе части уравнения на $(a — 1)(a + 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$(a + 2)^2 — (a — 1)^2 = (a — 1)(a + 2)$$

Раскрываем квадратные скобки:

$$a^2 + 4a + 4 — a^2 + 2a — 1 = a^2 + 2a — a — 2$$

Сокращаем одинаковые $a^2$ с обеих сторон:

$$4a + 2a + 4 — 1 = a^2 + a — 2$$

Преобразуем уравнение:

$$— a^2 + 6a + 3 + 2 = 0$$

Теперь переносим все термины на одну сторону:

$$— a^2 + 5a + 5 = 0$$

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 25 + 20 = 45$$

Теперь находим корни уравнения:

$$a = \frac{-5 \pm \sqrt{45}}{-2} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{-2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$$

Таким образом, корни уравнения:

$$a = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$$