ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 403 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнений (401—403):

а) $\frac{x + 9}{x + 3} = x — 1$;

б) $y = \frac{2y}{3y — 1}$;

в) $\frac{2}{2z + 5} = z + 1$;

г) $\frac{5x — 2}{x} = 3x$.

а) $\frac{x + 9}{x + 3} = x — 1 \quad | \cdot (x + 3)$;

$x + 9 = (x — 1)(x + 3)$;

$x + 9 = x^2 + 3x — x — 3$;

$-x^2 + x — 3x + x + 9 + 3 = 0$;

$-x^2 — x + 12 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 7}{-2} = 3$ и $x_2 = \frac{1 + 7}{-2} = -4$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 3 \neq 0$, отсюда $x \neq -3$;

Ответ: $-4$; $3$.

б) $y = \frac{2y}{3y — 1} \quad | \cdot (3y — 1)$;

$y(3y — 1) = 2y$;

$3y^2 — y — 2y = 0$;

$3y^2 — 3y = 0$;

$3y(y — 1) = 0$, тогда:

$3y_1 = 0$, отсюда $y_1 = 0$;

$y_2 — 1 = 0$, отсюда $y_2 = 1$;

Выражение имеет смысл при:

$3y — 1 \neq 0$, отсюда $y \neq \frac{1}{3}$;

Ответ: $0$; $1$.

в) $\frac{2}{2z + 5} = z + 1 \quad | \cdot (2z + 5)$;

$2 = (z + 1)(2z + 5)$;

$2 = 2z^2 + 5z + 2z + 5$;

$-2z^2 — 5z — 2z + 2 — 5 = 0$;

$-2z^2 — 7z — 3 = 0 \quad | \cdot (-1)$;

$2z^2 + 7z + 3 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25$, тогда:

$z_1 = \frac{-7 — 5}{2 \cdot 2} = -3$ и $z_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 2} = -0.5$;

Выражение имеет смысл при:

$2z + 5 \neq 0$, отсюда $z \neq -\frac{5}{2} = -2.5$;

Ответ: $-0.5$; $-3$.

г) $\frac{5x — 2}{x} = 3x \quad | \cdot x$;

$5x — 2 = 3x^2$;

$-3x^2 + 5x — 2 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot (-3)} = 1$ и $x_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{-6} = \frac{2}{3}$;

Выражение имеет смысл при: $x \neq 0$;

Ответ: $1$; $\frac{2}{3}$.

а) $\frac{x + 9}{x + 3} = x — 1 \quad | \cdot (x + 3)$

Умножим обе части уравнения на $(x + 3)$, чтобы избавиться от дроби. Это дает:

$$(x + 3) \cdot \frac{x + 9}{x + 3} = (x — 1) \cdot (x + 3)$$

Сокращаем $x + 3$ с обеих сторон:

$$x + 9 = (x — 1)(x + 3)$$

Раскроем правую часть уравнения, используя формулу сокращенного умножения:

$$x + 9 = x^2 + 3x — x — 3$$ $$x + 9 = x^2 + 2x — 3$$

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

$$x + 9 — x^2 — 2x + 3 = 0$$ $$-x^2 + x — 3x + x + 9 + 3 = 0$$ $$-x^2 — x + 12 = 0$$

Применяем формулу для дискриминанта $D = B^2 — 4AC$, где $A = -1$, $B = -1$, $C = 12$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 12 = 1 + 48 = 49$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{49} = 7$$

Находим корни уравнения с использованием формулы:

$$x_1=\frac{-(-1)-7}{2\cdot (-1)}=\frac{1-7}{-2}=3$$

$$x_1 = \frac{-(-1) — 7}{2 \cdot (-1)} = \frac{1 — 7}{-2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot (-1)} = \frac{1 + 7}{-2} = -4$$

Проверяем, что выражение имеет смысл при $x \neq -3$, поскольку при $x = -3$ знаменатель станет равен нулю.

Ответ: $-4$; $3$.

б) $y = \frac{2y}{3y — 1} \quad | \cdot (3y — 1)$

Умножим обе части уравнения на $(3y — 1)$, чтобы избавиться от дроби:

$$y(3y — 1) = 2y$$

Раскроем скобки:

$$3y^2 — y = 2y$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$3y^2 — y — 2y = 0$$ $$3y^2 — 3y = 0$$

Выносим общий множитель $3y$:

$$3y(y — 1) = 0$$

Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому:

$$3y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 0$$ $$y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1$$

Проверяем, что выражение имеет смысл при $y \neq \frac{1}{3}$, так как при $y = \frac{1}{3}$ знаменатель будет равен нулю.

Ответ: $0$; $1$.

в) $\frac{2}{2z + 5} = z + 1 \quad | \cdot (2z + 5)$

Умножим обе части уравнения на $(2z + 5)$, чтобы избавиться от дроби:

$$(2z + 5) \cdot \frac{2}{2z + 5} = (2z + 5) \cdot (z + 1)$$

После сокращения получаем:

$$2 = (z + 1)(2z + 5)$$

Раскроем скобки:

$$2 = 2z^2 + 5z + 2z + 5$$ $$2 = 2z^2 + 7z + 5$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$2 — 2z^2 — 7z — 5 = 0$$ $$-2z^2 — 7z — 3 = 0$$

Умножим обе части на $-1$:

$$2z^2 + 7z + 3 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 — 24 = 25$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{25} = 5$$

Находим корни уравнения:

$$z_1=\frac{-7-5}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3$$

$$z_1 = \frac{-7 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$$ $$z_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Проверяем, что выражение имеет смысл при $2z + 5 \neq 0$, то есть $z \neq -\frac{5}{2} = -2.5$.

Ответ: $-0.5$; $-3$.

г) $\frac{5x — 2}{x} = 3x \quad | \cdot x$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x \cdot \frac{5x — 2}{x} = x \cdot 3x$$

После сокращения получаем:

$$5x — 2 = 3x^2$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$5x — 2 — 3x^2 = 0$$ $$-3x^2 + 5x — 2 = 0$$

Находим дискриминант для этого квадратного уравнения:

$$D = 5^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 25 — 24 = 1$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{1} = 1$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-5-1}{2\cdot (-3)}=1$$

$$x_1 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot (-3)} = 1$$ $$x_2 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{-6} = \frac{2}{3}$$

Проверяем, что выражение имеет смысл при $x \neq 0$.

Ответ: $1$; $\frac{2}{3}$.