ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 402 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнений (401—403):

а) $\frac{4}{x + 7} = \frac{2}{5}$;

б) $\frac{y — 5}{y + 5} = \frac{1}{3}$;

в) $\frac{15}{8 — z} — \frac{1}{z} = 0$;

г) $\frac{3}{x — 4} = \frac{4}{x — 3}$;

д) $\frac{t}{2t — 3} — \frac{3}{t} = 0$;

е) $\frac{2 — z}{3 — z} = \frac{z}{z + 4}$;

ж) $\frac{2y — 1}{y} = \frac{y + 7}{y + 3}$;

з) $\frac{3(x — 1)}{x(x + 1)} — \frac{1}{2} = 0$.

а) $\frac{4}{x + 7} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5(x + 7)$;

$4 \cdot 5 = 2(x + 7)$;

$20 = 2x + 14$;

$-2x = 14 — 20$;

$-2x = -6$, отсюда $x = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 7 \neq 0$, отсюда $x \neq -7$;

Ответ: $3$.

б) $\frac{y — 5}{y + 5} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 3(y + 5)$;

$3(y — 5) = y + 5$;

$3y — 15 = y + 5$;

$3y — y = 5 + 15$;

$2y = 20$, отсюда $y = 10$;

Выражение имеет смысл при:

$y + 5 \neq 0$, отсюда $y \neq -5$;

Ответ: $10$.

в) $\frac{15}{8 — z} — \frac{1}{z} = 0 \quad | \cdot z(8 — z)$;

$15z — (8 — z) = 0$;

$15z — 8 + z = 0$;

$16z = 8$, отсюда $z = 0.5$;

Выражение имеет смысл при:

$8 — z \neq 0$, отсюда $z \neq 8$;

$z \neq 0$;

Ответ: $0.5$.

г) $\frac{3}{x — 4} = \frac{4}{x — 3} \quad | \cdot (x — 4)(x — 3)$;

$3(x — 3) = 4(x — 4)$;

$3x — 9 = 4x — 16$;

$3x — 4x = -16 + 9$;

$-x = -7$, отсюда $x = 7$;

Выражение имеет смысл при:

$x — 4 \neq 0$, отсюда $x \neq 4$;

$x — 3 \neq 0$, отсюда $x \neq 3$;

Ответ: $7$.

д) $\frac{t}{2t — 3} — \frac{3}{t} = 0 \quad | \cdot t(2t — 3)$;

$t^2 — 3(2t — 3) = 0$;

$t^2 — 6t + 9 = 0$;

$(t — 3)^2 = 0$;

$t — 3 = 0$, отсюда $t = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$2t — 3 \neq 0$, отсюда $t \neq \frac{3}{2}$;

$t \neq 0$;

Ответ: $3$.

е) $\frac{2 — z}{3 — z} = \frac{z}{z + 4} \quad | \cdot (3 — z)(z + 4)$;

$(2 — z)(z + 4) = z(3 — z)$;

$2z + 8 — z^2 — 4z = 3z — z^2$;

$-z^2 + z^2 + 2z — 4z — 3z = -8$;

$-5z = -8$, отсюда $z = \frac{8}{5} = 1.6$;

Выражение имеет смысл при:

$3 — z \neq 0$, отсюда $z \neq 3$;

$z + 4 \neq 0$, отсюда $z \neq -4$;

Ответ: $1.6$.

ж) $\frac{2y — 1}{y} = \frac{y + 7}{y + 3} \quad | \cdot y(y + 3)$;

$(2y — 1)(y + 3) = y(y + 7)$;

$2y^2 + 6y — y — 3 = y^2 + 7y$;

$2y^2 — y^2 + 6y — y — 7y — 3 = 0$;

$y^2 — 2y — 3 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$y + 3 \neq 0$, отсюда $y \neq -3$;

$y \neq 0$;

Ответ: $-1$; $3$.

з) $\frac{3(x — 1)}{x(x + 1)} — \frac{1}{2} = 0 \quad | \cdot 2x(x + 1)$;

$2 \cdot 3(x — 1) — x(x + 1) = 0$;

$6x — 6 — x^2 — x = 0$;

$-x^2 + 5x — 6 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{-5 — 1}{-2} = 3$ и $x_2 = \frac{-5 + 1}{-2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;

$2x \neq 0$, отсюда $x \neq 0$;

Ответ: $2$; $3$.

а) $\frac{4}{x + 7} = \frac{2}{5} \quad | \cdot 5(x + 7)$

Умножим обе части уравнения на $5(x + 7)$, чтобы избавиться от дробей:

$$5(x + 7) \cdot \frac{4}{x + 7} = 5(x + 7) \cdot \frac{2}{5}$$

После сокращения получаем:

$$4 \cdot 5 = 2(x + 7)$$

Упростим выражение:

$$20 = 2x + 14$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$20 — 14 = 2x$$ $$6 = 2x$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{6}{2} = 3$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 7 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -7$$

Ответ: $3$.

б) $\frac{y — 5}{y + 5} = \frac{1}{3} \quad | \cdot 3(y + 5)$

Умножим обе части уравнения на $3(y + 5)$, чтобы избавиться от дробей:

$$3(y + 5) \cdot \frac{y — 5}{y + 5} = 3(y + 5) \cdot \frac{1}{3}$$

После сокращения получаем:

$$3(y — 5) = y + 5$$

Раскроем скобки:

$$3y — 15 = y + 5$$

Переносим все слагаемые с $y$ на одну сторону, а числа на другую:

$$3y — y = 5 + 15$$ $$2y = 20$$

Разделим обе части на 2:

$$y = \frac{20}{2} = 10$$

Выражение имеет смысл при:

$$y + 5 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq -5$$

Ответ: $10$.

в) $\frac{15}{8 — z} — \frac{1}{z} = 0 \quad | \cdot z(8 — z)$

Умножим обе части уравнения на $z(8 — z)$, чтобы избавиться от дробей:

$$z(8 — z) \cdot \frac{15}{8 — z} — z(8 — z) \cdot \frac{1}{z} = 0$$

После сокращения получаем:

$$15z — (8 — z) = 0$$

Раскроем скобки:

$$15z — 8 + z = 0$$

Переносим все слагаемые с $z$ на одну сторону:

$$16z = 8$$

Разделим обе части на 16:

$$z = \frac{8}{16} = 0.5$$

Выражение имеет смысл при:

$$8 — z \neq 0 \quad \Rightarrow \quad z \neq 8$$ $$z \neq 0$$

Ответ: $0.5$.

г) $\frac{3}{x — 4} = \frac{4}{x — 3} \quad | \cdot (x — 4)(x — 3)$

Умножим обе части уравнения на $(x — 4)(x — 3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$(x — 4)(x — 3) \cdot \frac{3}{x — 4} = (x — 4)(x — 3) \cdot \frac{4}{x — 3}$$

После сокращения получаем:

$$3(x — 3) = 4(x — 4)$$

Раскроем скобки:

$$3x — 9 = 4x — 16$$

Переносим все слагаемые с $x$ на одну сторону:

$$3x — 4x = -16 + 9$$ $$-x = -7$$

Умножим обе части на $-1$:

$$x = 7$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4$$ $$x — 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3$$

Ответ: $7$.

д) $\frac{t}{2t — 3} — \frac{3}{t} = 0 \quad | \cdot t(2t — 3)$

Умножим обе части уравнения на $t(2t — 3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$t(2t — 3) \cdot \frac{t}{2t — 3} — t(2t — 3) \cdot \frac{3}{t} = 0$$

После сокращения получаем:

$$t^2 — 3(2t — 3) = 0$$

Раскроем скобки:

$$t^2 — 6t + 9 = 0$$

Это квадратное уравнение, которое можно решить, заметив, что оно является полным квадратом:

$$(t — 3)^2 = 0$$

Решаем это уравнение:

$$t — 3 = 0$$ $$t = 3$$

Выражение имеет смысл при:

$$2t — 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq \frac{3}{2}$$ $$t \neq 0$$

Ответ: $3$.

е) $\frac{2 — z}{3 — z} = \frac{z}{z + 4} \quad | \cdot (3 — z)(z + 4)$

Умножим обе части уравнения на $(3 — z)(z + 4)$, чтобы избавиться от дробей:

$$(3 — z)(z + 4) \cdot \frac{2 — z}{3 — z} = (3 — z)(z + 4) \cdot \frac{z}{z + 4}$$

После сокращения получаем:

$$(2 — z)(z + 4) = z(3 — z)$$

Раскроем скобки:

$$2z + 8 — z^2 — 4z = 3z — z^2$$

Упростим выражение:

$$— z^2 + z^2 + 2z — 4z — 3z = -8$$ $$-5z = -8$$

Разделим обе части на $-5$:

$$z = \frac{8}{5} = 1.6$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — z \neq 0 \quad \Rightarrow \quad z \neq 3$$ $$z + 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad z \neq -4$$

Ответ: $1.6$.

ж) $\frac{2y — 1}{y} = \frac{y + 7}{y + 3} \quad | \cdot y(y + 3)$

Умножим обе части уравнения на $y(y + 3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$y(y + 3) \cdot \frac{2y — 1}{y} = y(y + 3) \cdot \frac{y + 7}{y + 3}$$

После сокращения получаем:

$$(2y — 1)(y + 3) = y(y + 7)$$

Раскроем скобки:

$$2y^2 + 6y — y — 3 = y^2 + 7y$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$2y^2 — y^2 + 6y — y — 7y — 3 = 0$$ $$y^2 — 2y — 3 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Выражение имеет смысл при:

$$y + 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq -3$$ $$y \neq 0$$

Ответ: $-1$; $3$.

з) $\frac{3(x — 1)}{x(x + 1)} — \frac{1}{2} = 0 \quad | \cdot 2x(x + 1)$

Умножим обе части уравнения на $2x(x + 1)$, чтобы избавиться от дробей:

$$2x(x + 1) \cdot \frac{3(x — 1)}{x(x + 1)} = 2x(x + 1) \cdot \frac{1}{2}$$

После сокращения получаем:

$$6(x — 1) — x(x + 1) = 0$$

Раскроем скобки:

$$6x — 6 — x^2 — x = 0$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-x^2 + 5x — 6 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-5 — 1}{-2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{-2} = 2$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -1$$ $$2x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 0$$

Ответ: $2$; $3$.