ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 401 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнений (401—403):

а) $\frac{x^2 — 2x}{3x + 6} = 0$;

б) $\frac{x^2 — 1}{4x^2 — x — 3} = 0$;

в) $\frac{x^2 + x}{x + 1} = 0$;

г) $\frac{x^2 — 3x — 18}{x + 3} = 0$;

д) $\frac{x^2 — 4x}{x + 4} = 0$;

е) $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0$;

ж) $\frac{x(x + 1) — (x + 1)}{x(x — 9) — (x — 9)} = 0$;

з) $\frac{5(x + 5) — x(x + 5)}{x(x — 2)} = 0$.

а) $\frac{x^2 — 2x}{3x + 6} = 0$;

$x^2 — 2x = 0$;

$x(x — 2) = 0$, тогда:

$x_1 = 0$;

$x_2 — 2 = 0$, отсюда $x_2 = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$3x + 6 \neq 0$;

$3x \neq -6$;

$x \neq -2$;

Ответ: $0$; $2$.

б) $\frac{x^2 — 1}{4x^2 — x — 3} = 0$;

$x^2 — 1 = 0$;

$x^2 = 1$, отсюда $x = \pm 1$;

Выражение имеет смысл при:

$4x^2 — x — 3 \neq 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$x_1 \neq \frac{1 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$ и $x_2 \neq \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = 1$;

Ответ: $-1$.

в) $\frac{x^2 + x}{x + 1} = 0$;

$x^2 + x = 0$;

$x(x + 1) = 0$, тогда:

$x_1 = 0$;

$x_2 + 1 = 0$, отсюда $x_2 = -1$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;

Ответ: $0$.

г) $\frac{x^2 — 3x — 18}{x + 3} = 0$;

$x^2 — 3x — 18 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81$, тогда:

$x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 3 \neq 0$, отсюда $x \neq -3$;

Ответ: $6$.

д) $\frac{x^2 — 4x}{x + 4} = 0$;

$x^2 — 4x = 0$;

$x(x — 4) = 0$, тогда:

$x_1 = 0$;

$x_2 — 4 = 0$, отсюда $x_2 = 4$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 4 \neq 0$, отсюда $x \neq -4$;

Ответ: $0$; $4$.

е) $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0$;

$x^2 + 5x + 6 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 8x + 12 \neq 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$, тогда:

$x_1 \neq \frac{-8 — 4}{2} = -6$ и $x_2 \neq \frac{-8 + 4}{2} = -2$;

Ответ: $-3$.

ж) $\frac{x(x + 1) — (x + 1)}{x(x — 9) — (x — 9)} = 0$;

$x(x + 1) — (x + 1) = 0$;

$x^2 + x — x — 1 = 0$;

$x^2 = 1$, отсюда $x = \pm 1$;

Выражение имеет смысл при:

$x(x — 9) — (x — 9) \neq 0$;

$x^2 — 9x — x + 9 \neq 0$;

$x^2 — 10x + 9 \neq 0$;

$D = 10^2 — 3 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:

$x_1 \neq \frac{10 — 8}{2} = 1$ и $x_2 \neq \frac{10 + 8}{2} = 9$;

Ответ: $-1$.

з) $\frac{5(x + 5) — x(x + 5)}{x(x — 2)} = 0$;

$5(x + 5) — x(x + 5) = 0$;

$5x + 25 — x^2 — 5x = 0$;

$-x^2 = -25$;

$x^2 = 25$, отсюда $x = \pm 5$;

Выражение имеет смысл при:

$x \neq 0$;

$x — 2 \neq 0$, отсюда $x \neq 2$;

Ответ: $\pm 5$.

а) $\frac{x^2 — 2x}{3x + 6} = 0$;

Чтобы решить это уравнение, нужно привести числитель к виду, при котором он равен нулю, так как дробь равна нулю только в случае, если числитель равен нулю (знаменатель не может быть равен нулю).

Числитель у нас имеет вид $x^2 — 2x$, что можно представить как произведение:

$$x(x — 2) = 0$$

Решая это произведение, получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 2$$

Однако, нам нужно убедиться, что знаменатель не равен нулю, потому что если знаменатель равен нулю, то выражение не имеет смысла. Рассмотрим знаменатель:

$$3x + 6 = 0$$

Решая это уравнение:

$$3x = -6 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$

Таким образом, при $x = -2$ выражение не имеет смысла, и этот корень исключается.

Ответ: $0$; $2$.

б) $\frac{x^2 — 1}{4x^2 — x — 3} = 0$;

Рассмотрим числитель. Уравнение $x^2 — 1 = 0$ можно решить как разность квадратов:

$$x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1) = 0$$

Таким образом, мы получаем два корня:

$$x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -1$$

Теперь рассмотрим знаменатель. Выражение имеет смысл только если знаменатель не равен нулю. Решим уравнение $4x^2 — x — 3 = 0$. Для этого используем дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$

Теперь находим корни этого уравнения:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{49}}{2\cdot 4}=\frac{1-7}{8}=\frac{-6}{8}=-\frac{3}{4}$$

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 — 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

Видим, что $x = 1$ исключается, так как знаменатель при $x = 1$ равен нулю.

Ответ: $-1$.

в) $\frac{x^2 + x}{x + 1} = 0$;

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю. Рассмотрим числитель:

$$x^2 + x = 0$$

Это уравнение можно факторизовать:

$$x(x + 1) = 0$$

Решая это уравнение, получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = -1$$

Однако, $x = -1$ исключается, так как при $x = -1$ знаменатель будет равен нулю. Таким образом, выражение не имеет смысла при $x = -1$.

Ответ: $0$.

г) $\frac{x^2 — 3x — 18}{x + 3} = 0$;

Рассмотрим числитель:

$$x^2 — 3x — 18 = 0$$

Находим дискриминант для этого квадратного уравнения:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-3)-\sqrt{81}}{2\cdot 1}=\frac{3-9}{2}=-3$$

$$x_1 = \frac{-(-3) — \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 — 9}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6$$

Теперь проверим, что знаменатель не равен нулю. У нас есть $x + 3 = 0$, следовательно $x \neq -3$.

Ответ: $6$.

д) $\frac{x^2 — 4x}{x + 4} = 0$;

Рассмотрим числитель:

$$x^2 — 4x = 0$$

Выносим общий множитель:

$$x(x — 4) = 0$$

Получаем два корня:

$$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 4$$

Проверим, что знаменатель не равен нулю. У нас есть $x + 4 = 0$, следовательно $x \neq -4$.

Ответ: $0$; $4$.

е) $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0$;

Рассмотрим числитель:

$$x^2 + 5x + 6 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-5 — 1}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Теперь проверим, что знаменатель не равен нулю. Рассмотрим уравнение $x^2 + 8x + 12 = 0$. Находим дискриминант:

$$D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-8 — 4}{2} = -6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-8 + 4}{2} = -2$$

Видим, что $x = -2$ исключается, так как знаменатель при $x = -2$ равен нулю.

Ответ: $-3$.

ж) $\frac{x(x + 1) — (x + 1)}{x(x — 9) — (x — 9)} = 0$;

Рассмотрим числитель:

$$x(x + 1) — (x + 1) = 0$$

Упростим выражение:

$$x^2 + x — x — 1 = 0$$ $$x^2 = 1$$

Получаем два корня:

$$x = \pm 1$$

Рассмотрим знаменатель:

$$x(x — 9) — (x — 9) = 0$$

Упростим выражение:

$$x^2 — 9x — x + 9 = 0$$ $$x^2 — 10x + 9 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$

Видим, что $x = 1$ исключается, так как знаменатель при $x = 1$ равен нулю.

Ответ: $-1$.

з) $\frac{5(x + 5) — x(x + 5)}{x(x — 2)} = 0$;

Рассмотрим числитель:

$$5(x + 5) — x(x + 5) = 0$$

Раскроем скобки:

$$5x + 25 — x^2 — 5x = 0$$

Упростим:

$$-x^2 = -25$$ $$x^2 = 25$$

Получаем два корня:

$$x = \pm 5$$

Проверим, что знаменатель не равен нулю. У нас есть $x(x — 2) = 0$, следовательно $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Ответ: $\pm 5$.