ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 398 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Действуем по алгоритму (395 — 398) Решите уравнение.

а) $z — \frac{1}{z} = \frac{16}{15}$;

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2}$;

в) $2y = 5 — \frac{3}{y}$;

г) $\frac{5}{x} + x = 6$;

д) $8 — \frac{1}{y} = 7y$;

е) $6 = \frac{5}{z} — z$.

а) $z — \frac{1}{z} = \frac{16}{15} \quad | \cdot 15z$

$15z^2 — 15 = 16z$

$15z^2 — 16z — 15 = 0$

$D = 16^2 + 4 \cdot 15 \cdot 15 = 256 + 900 = 1156 = 34^2$, тогда:

$z_1 = \frac{16 — 34}{2 \cdot 15} = -\frac{18}{30} = -\frac{3}{5}$ и $z_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$

Выражение имеет смысл при: $z \neq 0$

Ответ: $-\frac{3}{5}$; $\frac{5}{3}$.

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2} \quad | \cdot 2x$

$2x^2 + 2 = -5x$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = -2$ и $x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = -0.5$

Выражение имеет смысл при: $x \neq 0$

Ответ: $-2$; $-0.5$.

в) $2y = 5 — \frac{3}{y} \quad | \cdot y$

$2y^2 = 5y — 3$

$2y^2 — 5y + 3 = 0$

$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 2} = 1$ и $y_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

Выражение имеет смысл при: $y \neq 0$

Ответ: $1$; $1.5$.

г) $\frac{5}{x} + x = 6 \quad | \cdot x$

$5 + x^2 = 6x$

$x^2 — 6x + 5 = 0$

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$

Выражение имеет смысл при: $x \neq 0$

Ответ: $1$; $5$.

д) $8 — \frac{1}{y} = 7y \quad | \cdot y$

$8y — 1 = 7y^2$

$-7y^2 + 8y — 1 = 0$

$D = 8^2 — 4 \cdot (-7) \cdot (-1) = 64 — 28 = 36$, тогда:

$y_1 = \frac{-8 — 6}{2 \cdot (-7)} = 1$ и $y_2 = \frac{-8 + 6}{2 \cdot (-7)} = \frac{2}{-14} = \frac{1}{7}$

Выражение имеет смысл при: $y \neq 0$

Ответ: $\frac{1}{7}$; $1$.

е) $6 = \frac{5}{z} — z \quad | \cdot z$

$6z = 5 — z^2$

$z^2 + 6z — 5 = 0$

$D = 6^2 + 4 \cdot 5 = 36 + 20 = 56$, тогда:

$z = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$

Выражение имеет смысл при: $z \neq 0$

Ответ: $-3 \pm \sqrt{14}$.

а) $z — \frac{1}{z} = \frac{16}{15} \quad | \cdot 15z$

Умножим обе части уравнения на $15z$, чтобы избавиться от дробей. Это необходимо для того, чтобы упростить выражение и привести к квадратному уравнению:

$$15z \cdot \left( z — \frac{1}{z} \right) = 15z \cdot \frac{16}{15}$$

Раскроем скобки:

$$15z^2 — 15 = 16z$$

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

$$15z^2 — 16z — 15 = 0$$

Теперь мы получаем стандартное квадратное уравнение вида $Az^2 + Bz + C = 0$, где $A = 15$, $B = -16$, и $C = -15$.

Для решения квадратного уравнения находим дискриминант $D$ с помощью формулы:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставляем значения $A = 15$, $B = -16$, и $C = -15$:

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{1156} = 34$$

Теперь, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$z_1 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A} \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}$$

Находим корни:

$$z_1=\frac{16-34}{2\cdot 15}=\frac{-18}{30}=-\frac{3}{5}$$

$$z_1 = \frac{16 — 34}{2 \cdot 15} = \frac{-18}{30} = -\frac{3}{5}$$ $$z_2 = \frac{16 + 34}{2 \cdot 15} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$$

Проверяем ограничения на $z$:

$$z \neq 0$$

Ответ: $-\frac{3}{5}$; $\frac{5}{3}$.

б) $x + \frac{1}{x} = -\frac{5}{2} \quad | \cdot 2x$

Умножим обе части уравнения на $2x$, чтобы избавиться от дроби. Это необходимо для того, чтобы привести уравнение к квадратному виду:

$$2x \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) = 2x \cdot \left( -\frac{5}{2} \right)$$

Раскроем скобки:

$$2x^2 + 2 = -5x$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$2x^2 + 5x + 2 = 0$$

Теперь мы имеем квадратное уравнение $2x^2 + 5x + 2 = 0$.

Для нахождения корней находим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставляем значения $A = 2$, $B = 5$, и $C = 2$:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{9} = 3$$

Находим корни уравнения с помощью формулы:

$$x_1 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A}$$

Вычисляем корни:

$$x_1=\frac{-5-3}{2\cdot 2}=\frac{-8}{4}=-2$$

$$x_1 = \frac{-5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$ $$x_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$

Проверяем ограничения на $x$:

$$x \neq 0$$

Ответ: $-2$; $-0.5$.

в) $2y = 5 — \frac{3}{y} \quad | \cdot y$

Умножим обе части уравнения на $y$, чтобы избавиться от дроби:

$$y \cdot 2y = y \cdot \left( 5 — \frac{3}{y} \right)$$

Раскроем скобки:

$$2y^2 = 5y — 3$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$2y^2 — 5y + 3 = 0$$

Теперь у нас есть квадратное уравнение $2y^2 — 5y + 3 = 0$.

Находим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставляем значения $A = 2$, $B = -5$, и $C = 3$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{1} = 1$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-(-5)-1}{2\cdot 2}=\frac{5-1}{4}=1$$

$$y_1 = \frac{-(-5) — 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 — 1}{4} = 1$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$

Проверяем ограничения на $y$:

$$y \neq 0$$

Ответ: $1$; $1.5$.

г) $\frac{5}{x} + x = 6 \quad | \cdot x$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$$x \cdot \left( \frac{5}{x} + x \right) = 6 \cdot x$$

Раскроем скобки:

$$5 + x^2 = 6x$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$x^2 — 6x + 5 = 0$$

Теперь у нас квадратное уравнение $x^2 — 6x + 5 = 0$.

Находим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставляем значения $A = 1$, $B = -6$, и $C = 5$:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{16} = 4$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-6)-4}{2\cdot 1}=\frac{6-4}{2}=1$$

$$x_1 = \frac{-(-6) — 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Проверяем ограничения на $x$:

$$x \neq 0$$

Ответ: $1$; $5$.

д) $8 — \frac{1}{y} = 7y \quad | \cdot y$

Умножим обе части уравнения на $y$, чтобы избавиться от дроби:

$$y \cdot \left( 8 — \frac{1}{y} \right) = y \cdot 7y$$

Раскроем скобки:

$$8y — 1 = 7y^2$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-7y^2 + 8y — 1 = 0$$

Находим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставляем значения $A = -7$, $B = 8$, и $C = -1$:

$$D = 8^2 — 4 \cdot (-7) \cdot (-1) = 64 — 28 = 36$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{36} = 6$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-8-6}{2\cdot (-7)}=1$$

$$y_1 = \frac{-8 — 6}{2 \cdot (-7)} = 1$$ $$y_2 = \frac{-8 + 6}{2 \cdot (-7)} = \frac{2}{-14} = \frac{1}{7}$$

Проверяем ограничения на $y$:

$$y \neq 0$$

Ответ: $\frac{1}{7}$; $1$.

е) $6 = \frac{5}{z} — z \quad | \cdot z$

Умножим обе части уравнения на $z$, чтобы избавиться от дроби:

$$z \cdot 6 = z \cdot \left( \frac{5}{z} — z \right)$$

Раскроем скобки:

$$6z = 5 — z^2$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$z^2 + 6z — 5 = 0$$

Находим дискриминант $D$ по формуле:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставляем значения $A = 1$, $B = 6$, и $C = -5$:

$$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 36 + 20 = 56$$

Извлекаем квадратный корень из дискриминанта:

$$\sqrt{56} = 2\sqrt{14}$$

Находим корни уравнения:

$$z = \frac{-6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -3 \pm \sqrt{14}$$

Проверяем ограничения на $z$:

$$z \neq 0$$

Ответ: $-3 \pm \sqrt{14}$.