ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 397 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Действуем по алгоритму (395 — 398) Решите уравнение.

а) $\frac{5}{x} = \frac{8}{x + 1} + 1$;

б) $\frac{z}{z — 4} + \frac{6}{z} = 1$;

в) $\frac{1}{t — 6} + 3 = \frac{10}{t}$;

г) $\frac{4}{y — 2} — \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$;

д) $\frac{y}{y — 1} + \frac{6}{y + 1} = 4$;

е) $\frac{8}{z — 2} — 1 = \frac{8}{z + 2}$;

ж) $\frac{4}{x} + \frac{7}{2x + 3} = 3$;

з) $\frac{3}{2t — 1} = 1 — \frac{4}{2t + 1}$.

а) $\frac{5}{x} = \frac{8}{x + 1} + 1 \quad | \cdot x(x + 1)$;

$5(x + 1) = 8x + x(x + 1)$;

$5x + 5 = 8x + x^2 + x$;

$-x^2 + 5x — 8x — x + 5 = 0$;

$-x^2 — 4x + 5 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36$, тогда:

$x_1 = \frac{4 — 6}{-2} = 1$ и $x_2 = \frac{4 + 6}{-2} = -5$;

Выражение имеет смысл при:

$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;

$x \neq 0$;

Ответ: $-5$; $1$.

б) $\frac{z}{z — 4} + \frac{6}{z} = 1 \quad | \cdot z(z — 4)$;

$z^2 + 6(z — 4) = z(z — 4)$;

$z^2 + 6z — 24 = z^2 — 4z$;

$z^2 — z^2 + 6z + 4z = 24$;

$10z = 24$, отсюда $z = 2.4$;

Выражение имеет смысл при:

$z — 4 \neq 0$, отсюда $z \neq 4$;

$z \neq 0$;

Ответ: $2.4$.

в) $\frac{1}{t — 6} + 3 = \frac{10}{t} \quad | \cdot t(t — 6)$;

$t + 3t(t — 6) = 10(t — 6)$;

$t + 3t^2 — 18t = 10t — 60$;

$3t^2 + t — 18t — 10t + 60 = 0$;

$3t^2 — 27t + 60 = 0$;

$D = 27^2 — 4 \cdot 3 \cdot 60 = 729 — 720 = 9$, тогда:

$t_1 = \frac{27 — 3}{2 \cdot 3} = 4$ и $t_2 = \frac{27 + 3}{2 \cdot 3} = 5$;

Выражение имеет смысл при:

$t — 6 \neq 0$, отсюда $t \neq 6$;

$t \neq 0$;

Ответ: $4$; $5$.

г) $\frac{4}{y — 2} — \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \quad | \cdot 2y(y — 2)$;

$4 \cdot 2y — 3 \cdot 2(y — 2) = y(y — 2)$;

$8y — 6y + 12 = y^2 — 2y$;

$-y^2 + 8y — 6y + 2y + 12 = 0$;

$-y^2 + 4y + 12 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64$, тогда:

$y_1 = \frac{-4 — 8}{-2} = 6$ и $y_2 = \frac{-4 + 8}{-2} = -2$;

Выражение имеет смысл при:

$y — 2 \neq 0$, отсюда $y \neq 2$;

$2y \neq 0$, отсюда $y \neq 0$;

Ответ: $-2$; $6$.

д) $\frac{y + 1}{y — 1} + \frac{6}{y + 1} = 4 \quad | \cdot (y — 1)(y + 1)$;

$y(y + 1) + 6(y — 1) = 4(y — 1)(y + 1)$;

$y^2 + y + 6y — 6 = 4y^2 — 4$;

$y^2 + 7y — 6 = 4y^2 — 4$;

$-3y^2 + 7y — 2 = 0$;

$D = 7^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 49 — 24 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{-7 — 5}{2 \cdot (-3)} = 2$ и $y_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{3}$;

Выражение имеет смысл при:

$y — 1 \neq 0$, отсюда $y \neq 1$;

$y + 1 \neq 0$, отсюда $y \neq -1$;

Ответ: $\frac{1}{3}$; $2$.

е) $\frac{8}{z — 2} — 1 = \frac{8}{z + 2} \quad | \cdot (z — 2)(z + 2)$;

$8(z + 2) — (z — 2)(z + 2) = 8(z — 2)$;

$8z + 16 — z^2 + 4 = 8z — 16$;

$-z^2 + 8z — 8z + 16 + 4 = -16 — 16 — 4$;

$-z^2 = -36$;

$z^2 = 36$, отсюда $z = \pm 6$;

Выражение имеет смысл при:

$z — 2 \neq 0$, отсюда $z \neq 2$;

$z + 2 \neq 0$, отсюда $z \neq -2$;

Ответ: $\pm 6$.

ж) $\frac{4}{x} + \frac{7}{2x + 3} = 3 \quad | \cdot x(2x + 3)$;

$4(2x + 3) + 7x = 3x(2x + 3)$;

$8x + 12 + 7x = 6x^2 + 9x$;

$-6x^2 + 8x + 7x — 9x + 12 = 0$;

$-6x^2 + 6x + 12 = 0 \quad | : (-6)$;

$x^2 — x — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$2x + 3 \neq 0$, отсюда $x \neq -\frac{3}{2}$;

$x \neq 0$;

Ответ: $-1$; $2$.

з) $\frac{3}{2t — 1} = 1 — \frac{4}{2t + 1} \quad | \cdot (2t — 1)(2t + 1)$;

$3(2t + 1) = (2t — 1)(2t + 1) — 4(2t — 1)$;

$6t + 3 = 4t^2 — 1 — 8t + 4$;

$-4t^2 + 6t + 8t + 3 + 1 — 4 = 0$;

$-4t^2 + 14t = 0$;

$-2t(2t — 7) = 0$, тогда:

$-2t_1 = 0$, отсюда $t_1 = 0$;

$2t_2 — 7 = 0$, отсюда $t_2 = \frac{7}{2} = 3.5$;

Выражение имеет смысл при:

$2t — 1 \neq 0$, отсюда $t \neq \frac{1}{2}$;

$2t + 1 \neq 0$, отсюда $t \neq -\frac{1}{2}$;

Ответ: $0$; $3.5$.

а) $\frac{5}{x} = \frac{8}{x + 1} + 1 \quad | \cdot x(x + 1)$

Умножим обе части уравнения на $x(x + 1)$, чтобы избавиться от дробей:

$$\frac{5}{x} \cdot x(x + 1) = \left(\frac{8}{x + 1} + 1\right) \cdot x(x + 1)$$

Слева у нас будет:

$$5(x + 1)$$

Справа:

$$8x + x(x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$5x + 5 = 8x + x^2 + x$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$5x + 5 — 8x — x^2 — x = 0$$ $$-x^2 — 4x + 5 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = -1$, $B = -4$, $C = 5$:

$$D = B^2 — 4AC = (-4)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 16 + 20 = 36$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{36}}{2(-1)}=\frac{4-6}{-2}=1$$

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2(-1)} = \frac{4 — 6}{-2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2(-1)} = \frac{4 + 6}{-2} = -5$$

Проверим ограничения на $x$:

$$x + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -1$$ $$x \neq 0$$

Ответ: $-5$; $1$.

б) $\frac{z}{z — 4} + \frac{6}{z} = 1 \quad | \cdot z(z — 4)$

Умножим обе части на $z(z — 4)$:

$$z(z — 4) \cdot \frac{z}{z — 4} + z(z — 4) \cdot \frac{6}{z} = z(z — 4) \cdot 1$$

Упростим каждую часть уравнения:

$$z^2 + 6(z — 4) = z(z — 4)$$

Раскроем скобки:

$$z^2 + 6z — 24 = z^2 — 4z$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$z^2 — z^2 + 6z + 4z = 24$$ $$10z = 24$$

Находим значение $z$:

$$z = \frac{24}{10} = 2.4$$

Проверим ограничения на $z$:

$$z — 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad z \neq 4$$ $$z \neq 0$$

Ответ: $2.4$.

в) $\frac{1}{t — 6} + 3 = \frac{10}{t} \quad | \cdot t(t — 6)$

Умножим обе части на $t(t — 6)$:

$$t(t — 6) \cdot \frac{1}{t — 6} + t(t — 6) \cdot 3 = t(t — 6) \cdot \frac{10}{t}$$

Упростим каждую часть уравнения:

$$t + 3t(t — 6) = 10(t — 6)$$

Раскроем скобки:

$$t + 3t^2 — 18t = 10t — 60$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$3t^2 + t — 18t — 10t + 60 = 0$$ $$3t^2 — 27t + 60 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = 3$, $B = -27$, $C = 60$:

$$D = B^2 — 4AC = (-27)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 60 = 729 — 720 = 9$$

Находим корни уравнения:

$$t_1=\frac{-(-27)-\sqrt{9}}{2\cdot 3}=\frac{27-3}{6}=4$$

$$t_1 = \frac{-(-27) — \sqrt{9}}{2 \cdot 3} = \frac{27 — 3}{6} = 4$$ $$t_2 = \frac{-(-27) + \sqrt{9}}{2 \cdot 3} = \frac{27 + 3}{6} = 5$$

Проверим ограничения на $t$:

$$t — 6 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq 6$$ $$t \neq 0$$

Ответ: $4$; $5$.

г) $\frac{4}{y — 2} — \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \quad | \cdot 2y(y — 2)$

Умножим обе части уравнения на $2y(y — 2)$:

$$2y(y — 2) \cdot \frac{4}{y — 2} — 2y(y — 2) \cdot \frac{3}{y} = 2y(y — 2) \cdot \frac{1}{2}$$

Упростим каждую часть уравнения:

$$4 \cdot 2y — 3 \cdot 2(y — 2) = y(y — 2)$$ $$8y — 6y + 12 = y^2 — 2y$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-y^2 + 8y — 6y + 2y + 12 = 0$$ $$-y^2 + 4y + 12 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = -1$, $B = 4$, $C = 12$:

$$D = B^2 — 4AC = 4^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 12 = 16 + 48 = 64$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-B-\sqrt{D}}{2A}=\frac{-4-8}{-2}=6$$

$$y_1 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4 — 8}{-2} = 6$$ $$y_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4 + 8}{-2} = -2$$

Проверим ограничения на $y$:

$$y — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 2$$ $$2y \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 0$$

Ответ: $-2$; $6$.

д) $\frac{y}{y — 1} + \frac{6}{y + 1} = 4 \quad | \cdot (y — 1)(y + 1)$

Умножим обе части уравнения на $(y — 1)(y + 1)$, чтобы избавиться от дробей:

$$\left( \frac{y}{y — 1} + \frac{6}{y + 1} \right) \cdot (y — 1)(y + 1) = 4 \cdot (y — 1)(y + 1)$$

Упростим каждую часть уравнения:

$$y(y + 1) + 6(y — 1) = 4(y — 1)(y + 1)$$

Раскроем скобки:

$$y^2 + y + 6y — 6 = 4(y^2 — 1)$$ $$y^2 + 7y — 6 = 4y^2 — 4$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$y^2 + 7y — 6 — 4y^2 + 4 = 0$$ $$-3y^2 + 7y — 2 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = -3$, $B = 7$, $C = -2$:

$$D = B^2 — 4AC = 7^2 — 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 49 — 24 = 25$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-B-\sqrt{D}}{2A}=\frac{-7-5}{2\cdot (-3)}=2$$

$$y_1 = \frac{-B — \sqrt{D}}{2A} = \frac{-7 — 5}{2 \cdot (-3)} = 2$$ $$y_2 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{-7 + 5}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{3}$$

Проверим ограничения на $y$:

$$y — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 1$$ $$y + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq -1$$

Ответ: $\frac{1}{3}$; $2$.

е) $\frac{8}{z — 2} — 1 = \frac{8}{z + 2} \quad | \cdot (z — 2)(z + 2)$

Умножим обе части уравнения на $(z — 2)(z + 2)$, чтобы избавиться от дробей:

$$\left( \frac{8}{z — 2} — 1 \right) \cdot (z — 2)(z + 2) = \frac{8}{z + 2} \cdot (z — 2)(z + 2)$$

Упростим каждую часть уравнения:

$$8(z + 2) — (z — 2)(z + 2) = 8(z — 2)$$

Раскроем скобки:

$$8z + 16 — (z^2 — 4) = 8z — 16$$

Упростим выражение:

$$8z + 16 — z^2 + 4 = 8z — 16$$ $$— z^2 + 8z + 20 = 8z — 16$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$— z^2 + 8z + 20 — 8z + 16 = 0$$ $$— z^2 + 36 = 0$$

Решим уравнение:

$$z^2 = 36$$ $$z = \pm 6$$

Проверим ограничения на $z$:

$$z — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad z \neq 2$$ $$z + 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad z \neq -2$$

Ответ: $\pm 6$.

ж) $\frac{4}{x} + \frac{7}{2x + 3} = 3 \quad | \cdot x(2x + 3)$

Умножим обе части уравнения на $x(2x + 3)$, чтобы избавиться от дробей:

$$\left( \frac{4}{x} + \frac{7}{2x + 3} \right) \cdot x(2x + 3) = 3 \cdot x(2x + 3)$$

Упростим каждую часть уравнения:

$$4(2x + 3) + 7x = 3x(2x + 3)$$

Раскроем скобки:

$$8x + 12 + 7x = 6x^2 + 9x$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-6x^2 + 8x + 7x — 9x + 12 = 0$$ $$-6x^2 + 6x + 12 = 0$$

Разделим обе части на $-6$:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Находим дискриминант для квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$, где $A = 1$, $B = -1$, $C = -2$:

$$D = B^2 — 4AC = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}=\frac{1-3}{2}=-1$$

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Проверим ограничения на $x$:

$$2x + 3 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -\frac{3}{2}$$ $$x \neq 0$$

Ответ: $-1$; $2$.

з) $\frac{3}{2t — 1} = 1 — \frac{4}{2t + 1} \quad | \cdot (2t — 1)(2t + 1)$

Умножим обе части уравнения на $(2t — 1)(2t + 1)$, чтобы избавиться от дробей:

$$\left( \frac{3}{2t — 1} \right) \cdot (2t — 1)(2t + 1) = \left( 1 — \frac{4}{2t + 1} \right) \cdot (2t — 1)(2t + 1)$$

Упростим каждую часть уравнения:

$$3(2t + 1) = (2t — 1)(2t + 1) — 4(2t — 1)$$

Раскроем скобки:

$$6t + 3 = 4t^2 — 1 — 8t + 4$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$-4t^2 + 6t + 8t + 3 + 1 — 4 = 0$$ $$-4t^2 + 14t = 0$$

Выносим общий множитель:

$$-2t(2t — 7) = 0$$

Находим корни уравнения:

$$-2t_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_1 = 0$$ $$2t_2 — 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad t_2 = \frac{7}{2} = 3.5$$

Проверим ограничения на $t$:

$$2t — 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq \frac{1}{2}$$ $$2t + 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq -\frac{1}{2}$$

Ответ: $0$; $3.5$.