ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 395 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Действуем по алгоритму (395 — 398) Решите уравнение.
а) $\frac{4}{x} — \frac{7}{4x} = 6$;

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1$;

в) $\frac{z — 2}{z} = \frac{4}{3z} — \frac{z}{3}$;

г) $\frac{y — 1}{y} — \frac{4}{y^2} = 1$;

д) $\frac{8}{t^2} — \frac{2 — t}{t} = 2$;

е) $\frac{4}{15x} — \frac{1}{5} = \frac{2 — x}{3x}$.

а) $\frac{4}{x} — \frac{7}{4x} = 6 \quad | \cdot 4x$;

$4 \cdot 4 — 7 = 6 \cdot 4x$;

$16 — 7 = 24x$;

$24x = 9$, отсюда $x = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$;

Выражение имеет смысл при:

$3x \neq 0$, отсюда $x \neq 0$;

Ответ: $\frac{3}{8}$.

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1 \quad | \cdot 2y$;

$5 + y = 2 \cdot 3 + 2y$;

$y — 2y = 6 — 5$;

$-y = 1$, отсюда $y = -1$;

Выражение имеет смысл при:

$2y \neq 0$, отсюда $y \neq 0$;

Ответ: $-1$.

в) $\frac{z — 2}{z} = \frac{4}{3z} — \frac{z}{3} \quad | \cdot 3z$;

$3(z — 2) = 4 — z^2$;

$3z — 6 = 4 — z^2$;

$z^2 + 3z — 10 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49$, тогда:

$z_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5$ и $z_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$3z \neq 0$, отсюда $z \neq 0$;

Ответ: $-5$; $2$.

г) $\frac{y — 1}{y} — \frac{4}{y^2} = 1 \quad | \cdot y^2$;

$y(y — 1) — 4 = y^2$;

$y^2 — y — 4 = y^2$;

$-y — 4 = 0$;

$-y = 4$, отсюда $y = -4$;

Выражение имеет смысл при:

$y^2 \neq 0$, отсюда $y \neq 0$;

Ответ: $-4$.

д) $\frac{8}{t^2} — \frac{2 — t}{t} = 2 \quad | \cdot t^2$;

$8 — t(2 — t) = 2t^2$;

$8 — 2t + t^2 = 2t^2$;

$-t^2 — 2t + 8 = 0$;

$t^2 + 2t — 8 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:

$t_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4$ и $t_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$;

Выражение имеет смысл при:

$t^2 \neq 0$, отсюда $t \neq 0$;

Ответ: $-4$; $2$.

е) $\frac{4}{15x} — \frac{1}{5} = \frac{2 — x}{3x} \quad | \cdot 15x$;

$4 — 3x = 5(2 — x)$;

$4 — 3x = 10 — 5x$;

$-3x + 5x = 10 — 4$;

$2x = 6$, отсюда $x = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$15x \neq 0$, отсюда $x \neq 0$;

$3x \neq 0$, отсюда $x \neq 0$;

Ответ: $3$.

а) $\frac{4}{x} — \frac{7}{4x} = 6$

Умножаем обе стороны уравнения на $4x$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$4x \cdot \frac{4}{x} — 4x \cdot \frac{7}{4x} = 6 \cdot 4x$$

Упростим выражения:

$$16 — 7 = 24x$$

Переносим все числа в одну сторону:

$$24x = 9$$

Разделим обе стороны на 24:

$$x = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$$

Проверим выражение при $x = \frac{3}{8}$:

$$\frac{4}{\frac{3}{8}} — \frac{7}{4 \cdot \frac{3}{8}} = 6 \quad \Rightarrow \quad \frac{4 \cdot 8}{3} — \frac{7 \cdot 8}{12} = 6 \quad \Rightarrow \quad \frac{32}{3} — \frac{56}{12} = 6$$

Преобразуем второе слагаемое:

$$\frac{32}{3} — \frac{14}{3} = 6 \quad \Rightarrow \quad \frac{18}{3} = 6 \quad \Rightarrow \quad 6 = 6$$

Ответ: $\frac{3}{8}$.

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1$

Умножим обе стороны уравнения на $2y$ для устранения знаменателей:

$$2y \cdot \frac{5}{2y} + 2y \cdot \frac{1}{2} = 2y \cdot \frac{3}{y} + 2y \cdot 1$$

Упростим выражения:

$$5 + y = 6 + 2y$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$y — 2y = 6 — 5 \quad \Rightarrow \quad -y = 1$$

Разделим обе стороны на -1:

$$y = -1$$

Проверим выражение при $y = -1$:

$$\frac{5}{2 \cdot (-1)} + \frac{1}{2} = \frac{3}{-1} + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{-5}{2} + \frac{1}{2} = -3 + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{-4}{2} = -2$$

Ответ: $-1$.

в) $\frac{z — 2}{z} = \frac{4}{3z} — \frac{z}{3}$

Умножим обе стороны уравнения на $3z$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$3z \cdot \frac{z — 2}{z} = 3z \cdot \left( \frac{4}{3z} — \frac{z}{3} \right)$$

Упростим выражения:

$$3(z — 2) = 4 — z^2$$

Раскроем скобки:

$$3z — 6 = 4 — z^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$z^2 + 3z — 10 = 0$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

Находим корни:

$$z_1 = \frac{-3 — \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad z_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = 2$$

Ответ: $-5$; $2$.

г) $\frac{y — 1}{y} — \frac{4}{y^2} = 1$

Умножим обе стороны на $y^2$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$y^2 \cdot \frac{y — 1}{y} — y^2 \cdot \frac{4}{y^2} = y^2 \cdot 1$$

Упростим выражения:

$$y(y — 1) — 4 = y^2$$

Раскроем скобки:

$$y^2 — y — 4 = y^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$-y — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad -y = 4$$

Разделим обе стороны на -1:

$$y = -4$$

Ответ: $-4$.

д) $\frac{8}{t^2} — \frac{2 — t}{t} = 2$

Умножим обе стороны на $t^2$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$t^2 \cdot \frac{8}{t^2} — t^2 \cdot \frac{2 — t}{t} = t^2 \cdot 2$$

Упростим выражения:

$$8 — t(2 — t) = 2t^2$$

Раскроем скобки:

$$8 — 2t + t^2 = 2t^2$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$-t^2 — 2t + 8 = 0$$

Преобразуем уравнение:

$$t^2 + 2t — 8 = 0$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$

Находим корни:

$$t_1 = \frac{-2 — \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad t_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$

Ответ: $-4$; $2$.

е) $\frac{4}{15x} — \frac{1}{5} = \frac{2 — x}{3x}$

Умножим обе стороны на $15x$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$15x \cdot \frac{4}{15x} — 15x \cdot \frac{1}{5} = 15x \cdot \frac{2 — x}{3x}$$

Упростим выражения:

$$4 — 3x = 5(2 — x)$$

Раскроем скобки:

$$4 — 3x = 10 — 5x$$

Переносим все члены на одну сторону:

$$-3x + 5x = 10 — 4$$

Упростим:

$$2x = 6$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x = 3$$

Ответ: $3$.