ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 394 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

На рисунке 3.6 изображены графики функций:

$y = x^4 — 5x^2 + 4$ (рис. а) и $y = x^3 — 5x^2 + 7x — 3$ (рис. б).

Пользуясь соответствующим графиком, решите уравнение:

а) $x^4 — 5x^2 + 4 = 0$;

б) $x^3 — 5x^2 + 7x — 3 = 0$.

График функции пересекает ось $x$ в точках с ординатами, равными нулю:

а) $x^4 — 5x^2 + 4 = 0$;

Ответ: $\pm 1$; $\pm 2$.

б) $x^3 — 5x^2 + 7x — 3 = 0$;

Ответ: $1$; $3$.

а) $x^4 — 5x^2 + 4 = 0$

Начнем с того, что это уравнение является биквадратным, и мы можем выполнить замену. Пусть $y = x^2$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2 — 5y + 4 = 0$$

Решаем это квадратное уравнение относительно $y$. Рассчитаем дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{9}}{2} = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$

Подставляем найденные значения $y$ обратно в $y = x^2$:

$$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$ $$x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

Ответ: $\pm 1$; $\pm 2$.

б) $x^3 — 5x^2 + 7x — 3 = 0$

Чтобы решить это уравнение, применим метод подбора. Попробуем $x = 1$:

$$f(1) = 1^3 — 5 \cdot 1^2 + 7 \cdot 1 — 3 = 1 — 5 + 7 — 3 = 0$$

Значит, $x = 1$ — корень уравнения.

Разбиваем многочлен на множители. Так как $x = 1$ является корнем, можно разделить многочлен на $(x — 1)$. Используем деление многочлена в столбик или синтетическое деление для разложения:

$$x^3 — 5x^2 + 7x — 3 = (x — 1)(x^2 — 4x + 3)$$

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$x^2 — 4x + 3 = 0$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Таким образом, $x = 1$, а также $x = 1$ и $x = 3$.

Ответ: $1$; $3$.