ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 393 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Определите, пересекает ли график функции $y=f(x)$ ось $x$, и если да, то в каких точках:

а) $f(x)=x^4+4x^2+3$;

б) $f(x)=x^4-10x^2+9$;

в) $f(x)=x^3-5x^2-4x+20$;

г) $f(x)=-x^3+6x^2-8x+48$.

График функции пересекает ось $x$ в точках с ординатами, равными нулю:

а) $x^4+4x^2+3=0$;

Пусть $y=x^2$, тогда:

$y^2+4y+3=0$;

$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4$, тогда:

$y_1=\frac{-4-2}{2}=-3$ и $y_2=\frac{-4+2}{2}=-1$;

${\mathrm{1)\; x}}^2=-3$ — корней нет;

${\mathrm{2)\; x}}^2=-1$ — корней нет;

Ответ: не пересекает.

б) $x^4-10x^2+9=0$;

Пусть $y=x^2$, тогда:

$y^2-10y+9=0$;

$D={10}^2-4\cdot 9=100-36=64$, тогда:

$y_1=\frac{10-8}{2}=1$ и $y_2=\frac{10+8}{2}=9$;

${\mathrm{1)\; x}}^2=1$, отсюда $x=\pm 1$;

${\mathrm{2)\; x}}^2=9$, отсюда $x=\pm 3$;

Ответ: пересекает в точках $(\pm 1;0)$ и $(\pm 3;0)$.

в) $x^3-5x^2-4x+20=0$;

$x^2(x-5)-4(x-5)=0$;

$(x^2-4)(x-5)=0$;

$(x-2)(x+2)(x-5)=0$;

$\mathrm{1)\; x}-2=0$, отсюда $x=2$;

$\mathrm{2)\; x}+2=0$, отсюда $x=-2$;

$\mathrm{3)\; x}-5=0$, отсюда $x=5$;

Ответ: пересекает в точках $(\pm 2;0)$ и $(5;0)$.

г) $-x^3+6x^2-8x+48=0$;

$-x^2(x-6)-8(x-6)=0$;

$-(x^2-8)(x-6)=0$;

$-(x^2+8)(x-6)=0$;

${\mathrm{1)\; x}}^2+8=0$;

$x^2=-8$ — корней нет;

$\mathrm{2)\; x}-6=0$, отсюда $x=6$;

Ответ: пересекает в точке $(6;0)$.

а) $x^4+4x^2+3=0$

Решаем уравнение $x^4+4x^2+3=0$. Для этого делаем подстановку $y=x^2$. Тогда уравнение превращается в:

$$y^2+4y+3=0$$

Решаем квадратное уравнение относительно $y$. Рассчитываем дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

Находим корни:

$$y_1=\frac{-4-\sqrt{4}}{2}=\frac{-4-2}{2}=-3,y_2=\frac{-4+\sqrt{4}}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1$$

Полученные значения $y_1=-3$ и $y_2=-1$ не могут быть корнями исходного уравнения, так как $y=x^2$, а квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Ответ: не пересекает.

б) $x^4-10x^2+9=0$

Подставляем $y=x^2$. Уравнение преобразуется в:

$$y^2-10y+9=0$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D=(-10{)}^2-4\cdot 1\cdot 9=100-36=64$$

Находим корни:

$$y_1=\frac{10-\sqrt{64}}{2}=\frac{10-8}{2}=1,y_2=\frac{10+\sqrt{64}}{2}=\frac{10+8}{2}=9$$

Подставляем значения для $y$ обратно в $y=x^2$:

$$x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$$$$x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$$

Ответ: пересекает в точках $(\pm 1;0)$ и $(\pm 3;0)$.

в) $x^3-5x^2-4x+20=0$

Применяем метод подбора корня. Попробуем $x=2$:

$$f(2)=2^3-5\cdot 2^2-4\cdot 2+20=8-20-8+20=0$$

Значит, $x=2$ является корнем.
2) Разбиваем многочлен на множители:

$$x^3-5x^2-4x+20=(x-2)(x^2-3x-10)$$

Решаем квадратное уравнение:

$$x^2-3x-10=0$$

Рассчитываем дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49$$

Находим корни:

$$x_1=\frac{3-\sqrt{49}}{2}=\frac{3-7}{2}=-2,x_2=\frac{3+\sqrt{49}}{2}=\frac{3+7}{2}=5$$

Ответ: пересекает в точках $(\pm 2;0)$ и $(5;0)$.

г) $-x^3+6x^2-8x+48=0$

Применяем метод подбора корня. Попробуем $x=6$:

$$f(6)=-(6{)}^3+6\cdot (6{)}^2-8\cdot 6+48=-216+216-48+48=0$$

Значит, $x=6$ является корнем.
2) Разбиваем многочлен на множители:

$$-x^3+6x^2-8x+48=-(x-6)(x^2+8)$$

Решаем уравнение $x^2+8=0$:

$$x^2=-8\Rightarrow \text{корней нет}$$

Таким образом, единственный корень — это $x=6$.

Ответ: пересекает в точке $(6;0)$.