ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 390 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, введя подходящую замену (389—390):

а) $(x^2 — 4x + 2)(x^2 — 4x — 2) = 5$;

б) $(x^2 + x)(x^2 + x — 8) = -12$;

в) $(x^2 — 3x — 3)(x^2 — 3x + 2) = 6$;

г) $(x^2 — x)(x^2 — x — 5) = -6$.

Указание. а) Введите замену $x^2 — 4x = y$.

а) $(x^2 — 4x + 2)(x^2 — 4x — 2) = 5$;

Пусть $y = x^2 — 4x$, тогда:

$(y + 2)(y — 2) = 5$;

$y^2 — 4 = 5$;

$y^2 = 9$, отсюда $y = \pm 3$;

$x^2 — 4x = -3$;

$x^2 — 4x + 3 = 0$;

$D = 4^2 — 3 \cdot 4 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$;

$x^2 — 4x = 3$;

$x^2 — 4x — 3 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28$, тогда:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$;

Ответ: $1$; $3$; $2 \pm \sqrt{7}$.

б) $(x^2 + x)(x^2 + x — 8) = -12$;

Пусть $y = x^2 + x — 4$, тогда:

$(y + 4)(y — 4) = -12$;

$y^2 — 16 = -12$;

$y^2 = 4$, отсюда $y = \pm 2$;

$x^2 + x — 4 = -2$;

$x^2 + x — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$;

$x^2 + x — 4 = 2$;

$x^2 + x — 6 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;

Ответ: $-3$; $\pm 2$; $1$.

в) $(x^2 — 3x — 3)(x^2 — 3x + 2) = 6$;

Пусть $y = x^2 — 3x — 3$, тогда:

$y(y + 5) = 6$;

$y^2 + 5y — 6 = 0$;

$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6$ и $y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$;

$x^2 — 3x — 3 = -6$;

$x^2 — 3x + 3 = 0$;

$D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3$;

$D < 0$, значит корней нет;

$x^2 — 3x — 3 = 1$;

$x^2 — 3x — 4 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$;

Ответ: $-1$; $4$.

г) $(x^2 — x)(x^2 — x — 5) = -6$;

Пусть $y = x^2 — x$, тогда:

$y(y — 5) = -6$;

$y^2 — 5y + 6 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;

$x^2 — x = 2$;

$x^2 — x — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

$x^2 — x = 3$;

$x^2 — x — 3 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13$, тогда:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$;

Ответ: $-1$; $2$; $\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.

а) $(x^2 — 4x + 2)(x^2 — 4x — 2) = 5$

Пусть $y = x^2 — 4x$. Тогда уравнение примет вид:

$$(y + 2)(y — 2) = 5$$

Применим формулу разности квадратов:

$$y^2 — 4 = 5$$

Переносим все в одну сторону:

$$y^2 = 9$$

Из этого получаем два возможных значения для $y$:

$$y = \pm 3$$

Подставим $y = x^2 — 4x$ и решим два полученных уравнения:

$x^2 — 4x = -3$, то есть:

$$x^2 — 4x + 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

$x^2 — 4x = 3$, то есть:

$$x^2 — 4x — 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 4^2 + 4 \cdot 3 = 16 + 12 = 28$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$$

Ответ: $1$, $3$, $2 \pm \sqrt{7}$

б) $(x^2 + x)(x^2 + x — 8) = -12$

Пусть $y = x^2 + x — 4$. Тогда уравнение примет вид:

$$(y + 4)(y — 4) = -12$$

Применяем формулу разности квадратов:

$$y^2 — 16 = -12$$

Переносим все в одну сторону:

$$y^2 = 4$$

Из этого получаем два возможных значения для $y$:

$$y = \pm 2$$

Подставим $y = x^2 + x — 4$ и решим два полученных уравнения:

$x^2 + x — 4 = -2$, то есть:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

$x^2 + x — 4 = 2$, то есть:

$$x^2 + x — 6 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

Ответ: $-3$, $\pm 2$, $1$

в) $(x^2 — 3x — 3)(x^2 — 3x + 2) = 6$

Пусть $y = x^2 — 3x — 3$. Тогда уравнение примет вид:

$$y(y + 5) = 6$$

Преобразуем это уравнение:

$$y^2 + 5y — 6 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -6, \quad y_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 1$$

Подставим $y = x^2 — 3x — 3$ и решим два полученных уравнения:

$x^2 — 3x — 3 = -6$, то есть:

$$x^2 — 3x + 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3$$

Так как дискриминант отрицателен, решений нет.

$x^2 — 3x — 3 = 1$, то есть:

$$x^2 — 3x — 4 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Ответ: $-1$, $4$

г) $(x^2 — x)(x^2 — x — 5) = -6$

Пусть $y = x^2 — x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y(y — 5) = -6$$

Раскроем скобки:

$$y^2 — 5y + 6 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Подставим $y = x^2 — x$ и решим два полученных уравнения:

$x^2 — x = 2$, то есть:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

$x^2 — x = 3$, то есть:

$$x^2 — x — 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 3 = 1 + 12 = 13$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$$

Ответ: $-1$, $2$, $\frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$