ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 389 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, введя подходящую замену (389—390):

а) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) — 24 = 0$;

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) — 3 = 0$;

в) $(1 — x)^4 + (1 — x)^2 = 20$;

г) $(2 — x^2)^4 — 10(2 — x^2)^2 = -9$.

а) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) — 24 = 0$;

Пусть $y = x^2 + 3x$, тогда:

$y^2 + 2y — 24 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 24 = 4 + 96 = 100$, тогда:

$y_1 = \frac{-2 — 10}{2} = -6$ и $y_2 = \frac{-2 + 10}{2} = 4$;

$x^2 + 3x = -6$;

$x^2 + 3x + 6 = 0$;

$D = 3^2 — 6 \cdot 4 = 9 — 24 = -15$;

$D < 0$, значит корней нет;

$x^2 + 3x = 4$;

$x^2 + 3x — 4 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$;

Ответ: $-4$; $1$.

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) — 3 = 0$;

Пусть $y = x^2 + x + 1$, тогда:

$y^2 + 2y — 3 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3$ и $y_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$;

$x^2 + x + 1 = -3$;

$x^2 + x + 4 = 0$;

$D = 1^2 — 4 \cdot 4 = 1 — 16 = -15$;

$D < 0$, значит корней нет;

$x^2 + x + 1 = 1$;

$x^2 + x = 0$;

$x(x + 1) = 0$, тогда:

$x_1 = 0$;

$x_2 + 1 = 0$, отсюда $x_2 = -1$;

Ответ: $0$; $-1$.

в) $(1 — x)^4 + (1 — x^2) = 20$;

Пусть $y = (1 — x)^2$, тогда:

$y^2 + y — 20 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 9}{2} = -5$ и $y_2 = \frac{-1 + 9}{2} = 4$;

$(1 — x)^2 = -5$ — корней нет;

$(1 — x)^2 = 4$;

$1 — 2x + x^2 — 4 = 0$;

$x^2 — 2x — 3 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$;

Ответ: $-1$; $3$.

г) $(2 — x^2)^4 — 10(2 — x^2)^2 = -9$;

Пусть $y = (2 — x^2)^2$, тогда:

$y^2 — 10y + 9 = 0$;

$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:

$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$;

$(2 — x^2)^2 = 1$;

$2 — x^2 = -1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3$, отсюда $x = \pm \sqrt{3}$;

$2 — x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1$, отсюда $x = \pm 1$;

$(2 — x^2)^2 = 9$;

$2 — x^2 = -3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 5$, отсюда $x = \pm \sqrt{5}$;

$2 — x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -1$ — корней нет;

Ответ: $\pm 1$; $\pm \sqrt{3}$; $\pm \sqrt{5}$.

а) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) — 24 = 0$

Пусть $y = x^2 + 3x$, тогда уравнение превращается в:

$$y^2 + 2y — 24 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

Находим корни уравнения по формуле для квадратного уравнения:

$$y_1=\frac{-2-\sqrt{100}}{2\cdot 1}=\frac{-2-10}{2}=-6$$

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 10}{2} = -6$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 10}{2} = 4$$

Подставим значения для $y$ обратно в выражение $y = x^2 + 3x$:

$x^2 + 3x = -6$, то есть:

$$x^2 + 3x + 6 = 0$$

Рассчитаем дискриминант для этого уравнения:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 — 24 = -15$$

Так как дискриминант отрицателен, то решений для этого уравнения нет.

$x^2 + 3x = 4$, то есть:

$$x^2 + 3x — 4 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-3-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-3-5}{2}=-4$$

$$x_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 — 5}{2} = -4$$ $$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

Ответ: $-4$, $1$

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) — 3 = 0$

Пусть $y = x^2 + x + 1$, тогда уравнение превращается в:

$$y^2 + 2y — 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{-2-4}{2}=-3$$

$$y_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 4}{2} = -3$$ $$y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

Подставим значения для $y$ обратно в выражение $y = x^2 + x + 1$:

$x^2 + x + 1 = -3$, то есть:

$$x^2 + x + 4 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 — 16 = -15$$

Так как дискриминант отрицателен, решений для этого уравнения нет.

$x^2 + x + 1 = 1$, то есть:

$$x^2 + x = 0$$

Разделим на $x$:

$$x(x + 1) = 0$$

Находим корни:

$$x_1=0$$

$$x_1 = 0$$ $$x_2 + 1 = 0 \Rightarrow x_2 = -1$$

Ответ: $0$, $-1$

в) $(1 — x)^4 + (1 — x^2) = 20$

Пусть $y = (1 — x)^2$, тогда уравнение превращается в:

$$y^2 + y — 20 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 20 = 1 + 80 = 81$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-1-\sqrt{81}}{2}=\frac{-1-9}{2}=-5$$

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 — 9}{2} = -5$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4$$

Подставим значения для $y$ обратно в выражение $y = (1 — x)^2$:

$(1 — x)^2 = -5$ — корней нет.

$(1 — x)^2 = 4$, то есть:

$$1 — 2x + x^2 — 4 = 0$$ $$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$$

Находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1$$

$$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Ответ: $-1$, $3$

г) $(2 — x^2)^4 — 10(2 — x^2)^2 = -9$

Пусть $y = (2 — x^2)^2$, тогда уравнение превращается в:

$$y^2 — 10y + 9 = 0$$

Рассчитаем дискриминант $D$:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{10-8}{2}=1$$

$$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$$

Подставим значения для $y$ обратно в выражение $y = (2 — x^2)^2$:

$(2 — x^2)^2 = 1$, то есть:

$$2 — x^2 = -1 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$$ $$2 — x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

$(2 — x^2)^2 = 9$, то есть:

$$2 — x^2 = -3 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5}$$ $$2 — x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = -1 \text{ — корней нет}$$

Ответ: $\pm 1$, $\pm \sqrt{3}$, $\pm \sqrt{5}$