ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 386 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите корни уравнений (386—387):

а) $3x^3 — x^2 — 27x + 9 = 0$;

б) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0$;

в) $3 + x — 3x^2 — x^3 = 0$;

г) $5x^3 — x^2 + 20x — 4 = 0$;

д) $x^4 + 5x^3 — 4x^2 — 20x = 0$;

е) $x — x^2 + 2x^3 — 2x^4 = 0$.

а) $3x^3 — x^2 — 27x + 9 = 0$;

$x^2(3x — 1) — 9(3x — 1) = 0$;

$(x^2 — 9)(3x — 1) = 0$;

$(x — 3)(x + 3)(3x — 1) = 0$;

$x — 3 = 0$, отсюда $x = 3$;

$x + 3 = 0$, отсюда $x = -3$;

$3x — 1 = 0$;

$3x = 1$, отсюда $x = \frac{1}{3}$;

Ответ: $\frac{1}{3}$; $\pm 3$.

б) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0$;

$x^2(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0$;

$(x^2 + 3)(2x + 1) = 0$;

$x^2 + 3 = 0$;

$x^2 = -3$ — корней нет;

$2x + 1 = 0$;

$2x = -1$, отсюда $x = -0.5$;

Ответ: $-0.5$.

в) $3 + x — 3x^2 — x^3 = 0$;

$(3 + x) — x^2(x + 3) = 0$;

$(1 — x^2)(x + 3) = 0$;

$(1 — x)(1 + x)(x + 3) = 0$;

$1 — x = 0$, отсюда $x = 1$;

$1 + x = 0$, отсюда $x = -1$;

$x + 3 = 0$, отсюда $x = -3$;

Ответ: $\pm 1$; $-3$.

г) $5x^3 — x^2 + 20x — 4 = 0$;

$x^2(5x — 1) + 4(5x — 1) = 0$;

$(x^2 + 4)(5x — 1) = 0$;

$x^2 + 4 = 0$;

$x^2 = -4$ — корней нет;

$5x — 1 = 0$;

$5x = 1$, отсюда $x = 0.2$;

Ответ: $0.2$.

д) $x^4 + 5x^3 — 4x^2 — 20x = 0$;

$x^3(x + 5) — 4x(x + 5) = 0$;

$(x^3 — 4x)(x + 5) = 0$;

$x(x^2 — 4)(x + 5) = 0$;

$x(x — 2)(x + 2)(x + 5) = 0$;

$x = 0$;

$x — 2 = 0$, отсюда $x = 2$;

$x + 2 = 0$, отсюда $x = -2$;

$x + 5 = 0$, отсюда $x = -5$;

Ответ: $0$; $\pm 2$; $-5$.

е) $x — x^2 + 2x^3 — 2x^4 = 0$;

$x(1 — x) + 2x^3(1 — x) = 0$;

$(x + 2x^3)(1 — x) = 0$;

$x(1 + 2x^2)(1 — x) = 0$;

$x = 0$;

$1 + 2x^2 = 0$;

$2x^2 = -1$ — корней нет;

$1 — x = 0$, отсюда $x = 1$;

Ответ: $0$; $1$.

а) $3x^3 — x^2 — 27x + 9 = 0$

Раскроем уравнение. Мы видим, что у нас есть несколько членов, связанных с $x^3$, $x^2$, $x$ и константа. Попробуем вынести общий множитель. Для этого сначала заметим, что можно сгруппировать несколько членов:

$$3x^3 — x^2 — 27x + 9 = (3x^3 — 27x) — (x^2 — 9)$$

Вынесем общий множитель из каждой группы:

$$3x(x^2 — 9) — (x^2 — 9)$$

Теперь видим, что $(x^2 — 9)$ общий множитель, и можно вынести его за скобки:

$$(x^2 — 9)(3x — 1) = 0$$

Разделим на два уравнения, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$x^2 — 9 = 0 \quad \text{и} \quad 3x — 1 = 0$$

Решим оба уравнения:

$x^2 — 9 = 0$ дает $x = \pm 3$

$3x — 1 = 0$ дает $x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$, $\pm 3$

б) $2x^3 + x^2 + 6x + 3 = 0$

Попробуем сгруппировать и вынести общий множитель:

$$(2x^3 + x^2) + (6x + 3) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(2x + 1) + 3(2x + 1) = 0$$

Вынесем общий множитель $(2x + 1)$:

$$(2x + 1)(x^2 + 3) = 0$$

Теперь разделим на два уравнения:

$$2x + 1 = 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 3 = 0$$

Решим оба уравнения:

$2x + 1 = 0$ дает $x = -\frac{1}{2}$

$x^2 + 3 = 0$ не имеет действительных корней, так как $x^2 = -3$ не имеет решений среди вещественных чисел.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) $3 + x — 3x^2 — x^3 = 0$

Перепишем уравнение, чтобы привести все члены в одном порядке:

$$-x^3 — 3x^2 + x + 3 = 0$$

Попробуем сгруппировать:

$$(-x^3 — 3x^2) + (x + 3) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$-x^2(x + 3) + (x + 3) = 0$$

Вынесем общий множитель $(x + 3)$:

$$(x + 3)(-x^2 + 1) = 0$$

Теперь разделим на два уравнения:

$$x + 3 = 0 \quad \text{и} \quad -x^2 + 1 = 0$$

Решим оба уравнения:

$x + 3 = 0$ дает $x = -3$

$-x^2 + 1 = 0$ дает $x = \pm 1$

Ответ: $\pm 1$, $-3$

г) $5x^3 — x^2 + 20x — 4 = 0$

Попробуем сгруппировать:

$$(5x^3 + 20x) — (x^2 + 4) = 0$$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$$5x(x^2 + 4) — (x^2 + 4) = 0$$

Вынесем общий множитель $(x^2 + 4)$:

$$(x^2 + 4)(5x — 1) = 0$$

Разделим на два уравнения:

$$x^2 + 4 = 0 \quad \text{и} \quad 5x — 1 = 0$$

Решим оба уравнения:

$x^2 + 4 = 0$ не имеет действительных корней, так как $x^2 = -4$

$5x — 1 = 0$ дает $x = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

д) $x^4 + 5x^3 — 4x^2 — 20x = 0$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(x^3 + 5x^2 — 4x — 20) = 0$$

Теперь рассмотрим кубический многочлен $x^3 + 5x^2 — 4x — 20 = 0$. Попробуем найти один корень методом подбора. Подставляем $x = 2$:

$$2^3 + 5 \cdot 2^2 — 4 \cdot 2 — 20 = 8 + 20 — 8 — 20 = 0$$

Значит, $x = 2$ — корень уравнения. Разделим многочлен на $(x — 2)$ с помощью деления многочленов.

После деления получаем:

$$(x — 2)(x^2 + 7x + 10) = 0$$

Разрешаем квадратное уравнение $x^2 + 7x + 10 = 0$ с помощью дискриминанта:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 — 40 = 9$$

Корни:

$$x_1=\frac{-7-\sqrt{9}}{2}=\frac{-7-3}{2}=-5$$

$$x_1 = \frac{-7 — \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 — 3}{2} = -5$$ $$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-7 + 3}{2} = -2$$

Ответ: $0$; $2$; $-5$; $-2$

е) $x — x^2 + 2x^3 — 2x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(1 — x + 2x^2 — 2x^3) = 0$$

Теперь разложим многочлен $1 — x + 2x^2 — 2x^3 = 0$ на множители. В данном случае можно воспользоваться методом подбора. Подставляем $x = 1$:

$$1 — 1 + 2 \cdot 1^2 — 2 \cdot 1^3 = 1$$

Так как это верно, $x = 1$ является корнем. Разделим многочлен на $(x — 1)$ с помощью деления многочленов.

После деления получаем:

$$(x — 1)(1 + 2x^2 — 2x^3) = 0$$

Ответ: $0$; $1$