ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 385 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$;

б) $4x^4 + 3x^2 — 1 = 0$;

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$;

г) $x^4 — 6x^2 + 9 = 0$.

Указание. Используйте подстановку $y = x^2$.

2) Составьте биквадратное уравнение, имеющее четыре корня, два корня, не имеющее корней.

1) Решим уравнения:

а) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:

$y^2 — 6y + 8 = 0$;

$D = 6^2 — 4 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$, тогда:

$y_1 = \frac{6 — 2}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$;

$x_1 = \pm \sqrt{2}$ и $x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2$;

Ответ: $\pm \sqrt{2}$ и $\pm 2$.

б) $4x^4 + 3x^2 — 1 = 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:

$4y^2 + 3y — 1 = 0$;

$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 4} = -1$ и $y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}$;

$x_1 = \pm \sqrt{-1}$ — корней нет;

$x_2 = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$;

Ответ: $\pm \frac{1}{2}$.

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:

$2y^2 + 9y + 4 = 0$;

$D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{-9 — 7}{2 \cdot 2} = -4$ и $y_2 = \frac{-9 + 7}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$;

$x_1 = \pm \sqrt{-4}$ — корней нет;

$x_2 = \pm \sqrt{-\frac{1}{2}}$ — корней нет;

Ответ: корней нет.

г) $x^4 — 6x^2 + 9 = 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:

$y^2 — 6y + 9 = 0$;

$D = 6^2 — 4 \cdot 9 = 36 — 36 = 0$, тогда:

$y = \frac{6}{2} = 3$;

$x = \pm \sqrt{3}$;

Ответ: $\pm \sqrt{3}$.

2) Составим уравнение, которое:

Имеет 4 корня:

$(x^2 — 4)(x^2 — 9) = 0$;

$x^4 — 13x^2 + 36 = 0$;

Имеет 2 корня:

$(x^2 — 5)^2 = 0$;

$x^4 — 10x^2 + 25 = 0$;

Не имеет корней:

$(x^2 + 1)^2 = 0$;

$x^4 + 2x^2 + 1 = 0$.

а) $x^4 — 6x^2 + 8 = 0$

Пусть $y = x^2$, тогда у нас получается биквадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 — 6y + 8 = 0$

Для решения применяем формулу дискриминанта:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 — 32 = 4$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{6-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{6-2}{2}=2$$

$$y_1 = \frac{6 — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 2}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = 4$$

Переходим к решению для $x$, так как $y = x^2$:

$x_1 = \pm \sqrt{2}$

$x_2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2$

Ответ: $\pm \sqrt{2}$ и $\pm 2$

б) $4x^4 + 3x^2 — 1 = 0$

Пусть $y = x^2$, получаем уравнение относительно $y$:
$4y^2 + 3y — 1 = 0$

Для решения используем формулу дискриминанта:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-3-\sqrt{25}}{2\cdot 4}=\frac{-3-5}{8}=-1$$

$$y_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 — 5}{8} = -1$$ $$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

Переходим к решению для $x$:

$x_1 = \pm \sqrt{-1}$, но этого корня нет среди действительных чисел

$x_2 = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} = \pm \frac{1}{2}$

Ответ: $\pm \frac{1}{2}$

в) $2x^4 + 9x^2 + 4 = 0$

Пусть $y = x^2$, получаем уравнение относительно $y$:
$2y^2 + 9y + 4 = 0$

Для решения используем формулу дискриминанта:

$$D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49$$

Находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{-9-\sqrt{49}}{2\cdot 2}=\frac{-9-7}{4}=-4$$

$$y_1 = \frac{-9 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 — 7}{4} = -4$$ $$y_2 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 7}{4} = -\frac{1}{2}$$

Переходим к решению для $x$:

$x_1 = \pm \sqrt{-4}$, но корней нет

$x_2 = \pm \sqrt{-\frac{1}{2}}$, но корней нет

Ответ: корней нет.

г) $x^4 — 6x^2 + 9 = 0$

Пусть $y = x^2$, получаем уравнение относительно $y$:
$y^2 — 6y + 9 = 0$

Для решения используем формулу дискриминанта:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 — 36 = 0$$

Находим корень уравнения:

$$y = \frac{6}{2} = 3$$

Переходим к решению для $x$:

$$x = \pm \sqrt{3}$$

Ответ: $\pm \sqrt{3}$

Составим уравнение, которое:

Имеет 4 корня:

$(x^2 — 4)(x^2 — 9) = 0$

$x^4 — 13x^2 + 36 = 0$

Имеет 2 корня:

$(x^2 — 5)^2 = 0$

$x^4 — 10x^2 + 25 = 0$

Не имеет корней:

$(x^2 + 1)^2 = 0$

$x^4 + 2x^2 + 1 = 0$