ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 384 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение, воспользовавшись приёмом разложения на множители:

а) $x^3 — 4x = 0$;

б) $3x + 3x^2 = 0$;

в) $81x^2 — x^4 = 0$;

г) $x^3 — 2x^2 + x = 0$;

д) $x^3 — 4x^2 + 3x = 0$;

е) $6x^2 + 5x^3 + x^4 = 0$;

ж) $16x^3 = x$;

з) $x^3 + x = 2x$;

и) $9x^2 = x^4$.

Решите уравнение, воспользовавшись приёмом разложения на множители:

а) $(2x — 1)(x — 5) — x(x — 5) = 0$:

$2x^2 — 10x — x + 5 — (x^2 — 5x) = 0$;

$2x^2 — 11x + 5 — x^2 + 5x = 0$;

$x^2 — 6x + 5 = 0$;

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$;

Ответ: $1$ и $5$.

б) $(4x — 3)(x + 1) = 2x(x + 1)$:

$4x^2 + 4x — 3x — 3 = 2x^2 + 2x$;

$4x^2 + x — 3 — 2x^2 — 2x = 0$;

$2x^2 — x — 3 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$;

Ответ: $-1$ и $1.5$.

в) $81x^2 — x^4 = 0$:

$x^2(81 — x^2) = 0$;

$x^2(9 — x)(9 + x) = 0$, тогда:

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;

$9 — x = 0$, отсюда $x = 9$;

$9 + x = 0$, отсюда $x = -9$;

Ответ: $0$; $\pm 9$.

г) $x^3 — 2x^2 + x = 0$:

$x(x^2 — 2x + 1) = 0$;

$x(x — 1)^2 = 0$, тогда:

$x = 0$;

$(x — 1)^2 = 0$, отсюда $x = 1$;

Ответ: $0$; $1$.

д) $x^3 — 4x^2 + 3x = 0$:

$x(x^2 — 4x + 3) = 0$;

$x(x — 3)(x — 1) = 0$, тогда:

$x = 0$;

$x — 3 = 0$, отсюда $x = 3$;

$x — 1 = 0$, отсюда $x = 1$;

Ответ: $0$; $1$; $3$.

е) $6x^2 + 5x^3 + x^4 = 0$:

$x^2(6 + 5x + x^2) = 0$;

$x^2(x + 3)(x + 2) = 0$, тогда:

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;

$x + 3 = 0$, отсюда $x = -3$;

$x + 2 = 0$, отсюда $x = -2$;

Ответ: $-3$; $-2$; $0$.

ж) $16x^3 = x$:

$16x^3 — x = 0$;

$x(16x^2 — 1) = 0$;

$x(4x — 1)(4x + 1) = 0$, тогда:

$x = 0$;

$4x — 1 = 0 \Rightarrow 4x = 1$, отсюда $x = 0.25$;

$4x + 1 = 0 \Rightarrow 4x = -1$, отсюда $x = -0.25$;

Ответ: $0$; $\pm 0.25$.

з) $x^3 + x = 2x$:

$x^3 — x = 0$;

$x(x^2 — 1) = 0$;

$x(x — 1)(x + 1) = 0$, тогда:

$x = 0$;

$x — 1 = 0$, отсюда $x = 1$;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

Ответ: $0$; $\pm 1$.

и) $9x^2 = x^4$:

$9x^2 — x^4 = 0$;

$x^2(9 — x^2) = 0$;

$x^2(3 — x)(3 + x) = 0$, тогда:

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;

$3 — x = 0$, отсюда $x = 3$;

$3 + x = 0$, отсюда $x = -3$;

Ответ: $0$; $\pm 3$.

а) $(2x — 1)(x — 5) — x(x — 5) = 0$

Раскроем скобки в первом произведении:

$$(2x — 1)(x — 5) = 2x(x — 5) — 1(x — 5) = 2x^2 — 10x — x + 5 = 2x^2 — 11x + 5$$

Раскроем второй множитель:

$$— x(x — 5) = — x^2 + 5x$$

Подставляем оба выражения в исходное уравнение:

$$2x^2 — 11x + 5 — x^2 + 5x = 0$$

Приводим подобные:

$$2x^2 — x^2 — 11x + 5x + 5 = 0$$ $$x^2 — 6x + 5 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$$

Корни:

$$x_1=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{6-4}{2}=1$$

$$x_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5$$

Ответ: $1$ и $5$

б) $(4x — 3)(x + 1) = 2x(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$$(4x — 3)(x + 1) = 4x(x + 1) — 3(x + 1) = 4x^2 + 4x — 3x — 3 = 4x^2 + x — 3$$ $$2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$$

Подставляем в уравнение:

$$4x^2 + x — 3 = 2x^2 + 2x$$

Переносим все в одну сторону:

$$4x^2 + x — 3 — 2x^2 — 2x = 0$$ $$2x^2 — x — 3 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Корни:

$$x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{1-5}{4}=-1$$

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 5}{4} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = 1.5$$

Ответ: $-1$ и $1.5$

в) $5x(8 — x) = x(x — 8)$

Раскроем скобки:

$$5x(8 — x) = 40x — 5x^2$$ $$x(x — 8) = x^2 — 8x$$

Подставляем в уравнение:

$$40x — 5x^2 = x^2 — 8x$$

Переносим все в одну сторону:

$$40x — 5x^2 — x^2 + 8x = 0$$ $$-6x^2 + 48x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$-6x(x — 8) = 0$$

Корни уравнения:

$-6x = 0 \Rightarrow x = 0$

$x — 8 = 0 \Rightarrow x = 8$

Ответ: $0$ и $8$

г) $x^2(x — 9) = 2(9 — x)$

Раскроем скобки:

$$x^2(x-9)=x^3-9x^2$$

$$x^2(x — 9) = x^3 — 9x^2$$ $$2(9 — x) = 18 — 2x$$

Подставляем в уравнение:

$$x^3 — 9x^2 = 18 — 2x$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^3 — 9x^2 + 2x — 18 = 0$$

Используем метод подбора, чтобы найти корень $x = 2$:

$$x^3 — 9x^2 + 2x — 18 \div (x — 2)$$

После деления получаем:

$$x^2 — 7x + 9 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 — 36 = 13$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-7)-\sqrt{13}}{2\cdot 1}=\frac{7-\sqrt{13}}{2}$$

$$x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — \sqrt{13}}{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{13}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$$

Ответ: $x = 2$, $x = \frac{7 — \sqrt{13}}{2}$, $x = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}$

д) $x^3 — 4x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(x^2 — 4x + 3) = 0$$

Теперь у нас есть два множителя:
$x = 0$ — первый корень уравнения.

Второй множитель $x^2 — 4x + 3 = 0$, решим его методом выделения корней:

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$

Корни:

$$x_1=\frac{-(-4)-\sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4-2}{2}=1$$

$$x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$

Ответ: $x = 0$; $x = 1$; $x = 3$

е) $6x^2 + 5x^3 + x^4 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$$x^2(6 + 5x + x^2) = 0$$

Первый множитель $x^2 = 0$, отсюда $x = 0$.

Решим второе уравнение $6 + 5x + x^2 = 0$ методом выделения корней:

Дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни:

$$x_1=\frac{-5-\sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{-5-1}{2}=-3$$

$$x_1 = \frac{-5 — \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 — 1}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 1}{2} = -2$$

Ответ: $x = 0$; $x = -3$; $x = -2$

ж) $16x^3 = x$

Переносим все в одну сторону:

$$16x^3 — x = 0$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(16x^2 — 1) = 0$$

Первый множитель $x = 0$.

Второй множитель $16x^2 — 1 = 0$, решим его:

$$16x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{4}$$

Ответ: $x = 0$; $x = \frac{1}{4}$; $x = -\frac{1}{4}$

з) $x^3 + x = 2x$

Переносим все в одну сторону:

$$x^3+x-2x=0$$

$$x^3 + x — 2x = 0$$ $$x^3 — x = 0$$

Вынесем общий множитель $x$:

$$x(x^2 — 1) = 0$$

Первый множитель $x = 0$.

Второй множитель $x^2 — 1 = 0$, решим его:

$$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$

Ответ: $x = 0$; $x = 1$; $x = -1$

и) $9x^2 = x^4$

Переносим все в одну сторону:

$$9x^2 — x^4 = 0$$

Вынесем общий множитель $x^2$:

$$x^2(9 — x^2) = 0$$

Первый множитель $x^2 = 0$, отсюда $x = 0$.

Второй множитель $9 — x^2 = 0$, решим его:

$$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$$

Ответ: $x = 0$; $x = 3$; $x = -3$