ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 382 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Убедитесь, что уравнения

$5x(x + 1)(x — 2) = 0$,
$x^2(x + 1)(2 — x) = 0$,
$x(x + 1)^2(x — 2) = 0$,
$x(x + 1)(2 — x)(x^2 + 1) = 0$

имеют одни и те же корни.

2) Составьте несколько уравнений, корнями которых являются числа:

а) $0$; $-3$; $4$;

б) $0$; $-1$; $-2$; $3$.

1) Решим уравнения:

а) $5x(x + 1)(x — 2) = 0$:

$5x = 0$, отсюда $x = 0$;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

$x — 2 = 0$, отсюда $x = 2$;

Корни: $0$; $-1$; $2$.

б) $x^2(x + 1)(2 — x) = 0$:

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

$2 — x = 0 \Rightarrow -x = -2$, отсюда $x = 2$;

Корни: $0$; $-1$; $2$.

в) $x(x + 1)^2(x — 2) = 0$:

$x = 0$;

$(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

$x — 2 = 0$, отсюда $x = 2$;

Корни: $0$; $-1$; $2$.

г) $x(x + 1)(2 — x)(x^2 + 1) = 0$:

$x = 0$;

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$;

$2 — x = 0 \Rightarrow -x = -2$, отсюда $x = 2$;

$x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ — корней нет;

Корни: $0$; $-1$; $2$.

2) Составим уравнения:

а) С корнями $0$; $-3$; $4$:

$x(x + 3)(x — 4) = 0$;

$2x(3x + 9)(4x — 16) = 0$;

$x^2(x + 3)(4 — x) = 0$;

$4x(x + 3)^2(x^2 — 16) = 0$;

б) С корнями $0$; $-1$; $-2$; $3$:

$x(x + 1)(x + 2)(x — 3) = 0$;

$2x(3x + 3)(2x + 4)(3x — 9) = 0$;

$x^2(x + 1)(x + 2)^2(x^2 — 9) = 0$;

$5x(3x + 3)(6x + 12)(3 — x) = 0$.

Решим уравнения:

а) $5x(x + 1)(x — 2) = 0$

Для решения этого уравнения, воспользуемся принципом, что произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Итак, у нас есть три множителя:

$5x = 0$, отсюда $x = 0$

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$

$x — 2 = 0$, отсюда $x = 2$

Ответ: $x = 0$; $x = -1$; $x = 2$

б) $x^2(x + 1)(2 — x) = 0$

Также, чтобы решить это уравнение, применяем тот же принцип. У нас есть три множителя:

$x^2 = 0$, отсюда $x = 0$

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$

$2 — x = 0$, отсюда $x = 2$

Ответ: $x = 0$; $x = -1$; $x = 2$

в) $x(x + 1)^2(x — 2) = 0$

Здесь у нас также три множителя:

$x = 0$

$(x + 1)^2 = 0 \Rightarrow x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$

$x — 2 = 0$, отсюда $x = 2$

Ответ: $x = 0$; $x = -1$; $x = 2$

г) $x(x + 1)(2 — x)(x^2 + 1) = 0$

Здесь мы снова используем принцип, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разберем каждый множитель:

$x = 0$

$x + 1 = 0$, отсюда $x = -1$

$2 — x = 0$, отсюда $x = 2$

$x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$, но у этого уравнения нет действительных корней, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Ответ: $x = 0$; $x = -1$; $x = 2$

Составим уравнения, корнями которых являются:

а) $0$; $-3$; $4$

Для того чтобы получить уравнение с этими корнями, мы просто составим произведение множителей, соответствующих этим корням:

$x(x + 3)(x — 4) = 0$

$2x(3x + 9)(4x — 16) = 0$

$x^2(x + 3)(4 — x) = 0$

$4x(x + 3)^2(x^2 — 16) = 0$

б) $0$; $-1$; $-2$; $3$

Для этих корней уравнение будет:

$x(x + 1)(x + 2)(x — 3) = 0$

$2x(3x + 3)(2x + 4)(3x — 9) = 0$

$x^2(x + 1)(x + 2)^2(x^2 — 9) = 0$

$5x(3x + 3)(6x + 12)(3 — x) = 0$