ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 379 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Решите уравнение (378—379).

а) $\frac{x^2 — x}{2} — \frac{x + 1}{3} = 1$;

б) $\frac{t + 8}{8} — t = \frac{1 — t^2}{4}$;

в) $\frac{y^2}{5} = \frac{11}{2} + \frac{y}{10}$;

г) $\frac{5}{6} — \frac{z^2}{3} = \frac{2z + 3}{2}$.

а) $\frac{x^2 — x}{2} — \frac{x + 1}{3} = 1 \quad | \cdot 6$

$3(x^2 — x) — 2(x + 1) = 6$

$3x^2 — 3x — 2x — 2 = 6$

$3x^2 — 5x — 8 = 0$

$D = (-5)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 8 = 25 + 96 = 121$

$x_1 = \frac{5 — 11}{6} = -1$,
$x_2 = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = 2\frac{2}{3}$

Ответ: $-1$ и $2\frac{2}{3}$

б) $\frac{t + 8}{8} — t = \frac{1 — t^2}{4} \quad | \cdot 8$

$t + 8 — 8t = 2(1 — t^2)$

$-7t + 8 = 2 — 2t^2$

$2t^2 — 7t + 6 = 0$

$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1$

$t_1 = \frac{7 — 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$,
$t_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: $1.5$ и $2$

в) $\frac{y^2}{5} = \frac{11}{2} + \frac{y}{10} \quad | \cdot 10$

$2y^2 = 55 + y$

$2y^2 — y — 55 = 0$

$D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 55 = 1 + 440 = 441$

$y_1 = \frac{1 — 21}{4} = -5$,
$y_2 = \frac{1 + 21}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$

Ответ: $-5$ и $5.5$

г) $\frac{5}{6} — \frac{z^2}{3} = \frac{2z + 3}{2} \quad | \cdot 6$

$5 — 2z^2 = 3(2z + 3)$

$5 — 2z^2 = 6z + 9$

$-2z^2 — 6z — 4 = 0 \quad | : (-2)$

$z^2 + 3z + 2 = 0$

$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$

$z_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2$,
$z_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$

Ответ: $-2$ и $-1$

а) $\frac{x^2 — x}{2} — \frac{x + 1}{3} = 1$

Приводим уравнение к целым числам. Наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3 равно 6. Умножим обе части уравнения на 6:

$6 \cdot \left( \frac{x^2 — x}{2} — \frac{x + 1}{3} \right) = 6 \cdot 1$

Раскроем умножение:
$3(x^2 — x) — 2(x + 1) = 6$

Раскроем скобки:
$3x^2 — 3x — 2x — 2 = 6$

Приведём подобные:
$3x^2 — 5x — 2 = 6$

Переносим всё влево:
$3x^2 — 5x — 8 = 0$

Решим квадратное уравнение:
Дискриминант $D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$

Корни:
$x_1 = \frac{5 — \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 — 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$

Ответ: $x = -1$ и $x = 2 \frac{2}{3}$

б) $\frac{t + 8}{8} — t = \frac{1 — t^2}{4}$

Найменьшее общее кратное 8 и 4 равно 8. Умножим обе части на 8:

$8 \cdot \left( \frac{t + 8}{8} — t \right) = 8 \cdot \frac{1 — t^2}{4}$

Раскрываем:
$t + 8 — 8t = 2(1 — t^2)$

Упростим левую часть:
$-7t + 8 = 2 — 2t^2$

Переносим все члены в одну сторону:

$2t^2 — 7t + 8 — 2 = 0 \Rightarrow 2t^2 — 7t + 6 = 0$

Дискриминант:
$D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1$

Корни:
$t_1 = \frac{7 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

$t_2 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ: $t = 1.5$ и $t = 2$

в) $\frac{y^2}{5} = \frac{11}{2} + \frac{y}{10}$

Найменьшее общее кратное знаменателей 5, 2 и 10 равно 10. Умножим обе части на 10:

$10 \cdot \frac{y^2}{5} = 10 \cdot \left( \frac{11}{2} + \frac{y}{10} \right)$

Левая часть:
$2y^2$

Правая часть:
$10 \cdot \frac{11}{2} = 55$,
$10 \cdot \frac{y}{10} = y$,
итого: $55 + y$

Получаем:
$2y^2 = 55 + y \Rightarrow 2y^2 — y — 55 = 0$

Решим уравнение:
$D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 55 = 1 + 440 = 441$

$\sqrt{D} = 21$

Корни:
$y_1 = \frac{1 — 21}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$

$y_2 = \frac{1 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5.5$

Ответ: $y = -5$ и $y = 5.5$

г) $\frac{5}{6} — \frac{z^2}{3} = \frac{2z + 3}{2}$

Найменьшее общее кратное 6, 3 и 2 равно 6. Умножим обе части на 6:

$6 \cdot \left( \frac{5}{6} — \frac{z^2}{3} \right) = 6 \cdot \frac{2z + 3}{2}$

Левая часть:
$5 — 2z^2$

Правая часть:
$3(2z + 3) = 6z + 9$

Получаем:
$5 — 2z^2 = 6z + 9$

Переносим всё влево:
$-2z^2 — 6z + 5 — 9 = 0 \Rightarrow -2z^2 — 6z — 4 = 0$

Разделим на -2:
$z^2 + 3z + 2 = 0$

Решим уравнение:
$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$

Корни:
$z_1 = \frac{-3 — 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$z_2 = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $z = -2$ и $z = -1$