ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 376 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Постройте график функции (376—377).

а) $y = \frac{x^2 — 4}{x + 2}$;

б) $y = \frac{x — 1}{x^2 — x}$;

в) $y = \frac{x^2 — 4x — 5}{x + 1}$;

г) $y = \frac{x^4 — 1}{x^2 — 1}$.

а) $y = \frac{x^2 — 4}{x + 2} = \frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2} = x — 2$;

1) Функция определена при:
$x + 2 \neq 0$, отсюда $x \neq -2$;

$y \neq -2 — 2 = -4$;

2) График функции — прямая:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & 0 \\ \end{array}$

б) $y = \frac{x — 1}{x^2 — x} = \frac{x — 1}{x(x — 1)} = \frac{1}{x}$;

1) Функция определена при:
$x \neq 0$ и $x — 1 \neq 0$, отсюда $x \neq 1$;

$y \neq \frac{1}{1} = 1$;

2) График функции — гипербола:
$x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & -0.5 & 0.5 & 2 \\ \hline y & -0.5 & -1 & -2 & 2 & 0.5 \\ \end{array}$

в) $y = \frac{x^2 — 4x — 5}{x + 1}$;

1) Разложим на множители:
$x^2 — 4x — 5 = x^2 + x — 5x — 5 = x(x + 1) — 5(x + 1) = (x — 5)(x + 1)$;

2) Получим функцию:
$y = \frac{(x — 5)(x + 1)}{x + 1} = x — 5$;

3) Функция определена при:
$x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;

$y \neq -1 — 5 = -6$;

4) График функции — прямая:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 5 \\ \hline y & -5 & 0 \\ \end{array}$

г) $y = \frac{x^4 — 1}{x^2 — 1} = \frac{(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{x^2 — 1} = x^2 + 1$;

1) Функция определена при:
$x^2 — 1 \neq 0 \Rightarrow x^2 = 1$, отсюда $x \neq \pm 1$;

$y \neq (\pm 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$;

2) График функции — парабола:
$x_0 = 0$ и $y_0 = 0$;

$\begin{array}{ccccc}x& -3& -2& 2& 3\\ y& 10& 5& 5& 10\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & 2 & 3 \\ \hline y & 10 & 5 & 5 & 10 \\ \end{array}$

а) $y = \frac{x^2 — 4}{x + 2}$

Рассмотрим числитель: $x^2 — 4$. Это выражение представляет собой разность квадратов:
$x^2 — 4 = x^2 — 2^2 = (x — 2)(x + 2)$

Следовательно:
$y = \frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2}$

Сократим на $x + 2$, учитывая, что сокращение возможно только при $x \neq -2$, чтобы знаменатель не обращался в ноль. Получим:
$y = x — 2$, при условии $x \neq -2$

Функция тождественно равна линейной функции $y = x — 2$, но не определена в точке $x = -2$

Проверим поведение функции в окрестности $x = -2$:

При $x \rightarrow -2^-$, $y \rightarrow -4$,
при $x \rightarrow -2^+$, $y \rightarrow -4$,
но в точке $x = -2$ функция не определена, так как знаменатель обращается в ноль.

Значение $y = -4$ формально не входит в область определения, так как оно соответствует недопустимому $x = -2$

Область определения: все $x$, кроме $-2$:
$x \in \mathbb{R} \setminus \{ -2 \}$

Множество значений: все $y$, кроме $-4$:
$y \in \mathbb{R} \setminus \{ -4 \}$

График: прямая $y = x — 2$, но с выколотой точкой при $x = -2$

Контрольные точки:
при $x = 0$, $y = 0 — 2 = -2$;
при $x = 2$, $y = 2 — 2 = 0$

Таблица:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 2 \\ \hline y & -2 & 0 \\ \end{array}$

б) $y = \frac{x — 1}{x^2 — x}$

Знаменатель: $x^2 — x = x(x — 1)$

Выражение принимает вид:
$y = \frac{x — 1}{x(x — 1)}$

Сокращаем на $x — 1$, при условии $x \neq 1$:
$y = \frac{1}{x}$, при $x \neq 0$ и $x \neq 1$

Функция равна $y = \frac{1}{x}$, но исключены точки $x = 0$ (ноль в знаменателе) и $x = 1$ (в точке сокращения).

Область определения:
$x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0, 1 \}$

Множество значений:
$y \in \mathbb{R} \setminus \{ 1 \}$, поскольку при $x = 1$, $y$ стремится к 1, но не принимает его.

График — гипербола, выколоты точки:
асимптоты $x = 0$ (вертикальная), $y = 0$ (горизонтальная),
а также удалённая точка $(1, 1)$

Контрольные точки:
$x = -2 \Rightarrow y = \frac{1}{-2} = -0.5$
$x = -1 \Rightarrow y = \frac{1}{-1} = -1$
$x = -0.5 \Rightarrow y = \frac{1}{-0.5} = -2$
$x = 0.5 \Rightarrow y = \frac{1}{0.5} = 2$
$x = 2 \Rightarrow y = \frac{1}{2} = 0.5$

Таблица:
$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -2 & -1 & -0.5 & 0.5 & 2 \\ \hline y & -0.5 & -1 & -2 & 2 & 0.5 \\ \end{array}$

в) $y = \frac{x^2 — 4x — 5}{x + 1}$

Разложим числитель:
$x^2 — 4x — 5 = x^2 + x — 5x — 5 = x(x + 1) — 5(x + 1) = (x + 1)(x — 5)$

Получаем:
$y = \frac{(x + 1)(x — 5)}{x + 1}$

Сократим на $x + 1$, при условии $x \neq -1$:
$y = x — 5$, при $x \neq -1$

Функция определена всюду, кроме $x = -1$, где знаменатель обнуляется

Область определения:
$x \in \mathbb{R} \setminus \{ -1 \}$

Множество значений:
$y \in \mathbb{R} \setminus \{ -6 \}$, поскольку при $x = -1$ формально $y = -6$, но в данной точке функция не определена

График — прямая $y = x — 5$ с выколотой точкой при $x = -1$

Контрольные точки:
$x = 0 \Rightarrow y = 0 — 5 = -5$
$x = 5 \Rightarrow y = 5 — 5 = 0$

Таблица:
$\begin{array}{c|c|c} x & 0 & 5 \\ \hline y & -5 & 0 \\ \end{array}$

г) $y = \frac{x^4 — 1}{x^2 — 1}$

Разложим числитель:
$x^4 — 1 = (x^2)^2 — 1^2 = (x^2 — 1)(x^2 + 1)$

Получаем:
$y = \frac{(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{x^2 — 1}$

Сокращаем на $x^2 — 1$, при $x^2 \neq 1 \Rightarrow x \neq \pm 1$

Получаем:
$y = x^2 + 1$, при $x \neq \pm 1$

Область определения:
$x \in \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \}$

Множество значений:
$y \in (1, +\infty) \setminus \{ 2 \}$, так как при $x = \pm 1 \Rightarrow y = 2$, но функция там не определена

График — парабола $y = x^2 + 1$, но выколоты точки $x = \pm 1$

Контрольные точки:
$x = -3 \Rightarrow y = 9 + 1 = 10$
$x = -2 \Rightarrow y = 4 + 1 = 5$
$x = 2 \Rightarrow y = 4 + 1 = 5$
$x = 3 \Rightarrow y = 9 + 1 = 10$

Таблица:
$\begin{array}{ccccc}x& -3& -2& 2& 3\\ y& 10& 5& 5& 10\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c|c|c} x & -3 & -2 & 2 & 3 \\ \hline y & 10 & 5 & 5 & 10 \\ \end{array}$