ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 375 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) Найдите наименьшее значение выражения $x^2 — 2xy — y^2$, если известно, что $x + y = 1$.

б) Найдите наибольшее значение выражения $x^2 — 3xy + y^2$, если известно, что $x — y = 2$.

Указание. Выразите одну переменную через другую и выполните подстановку.

а) $x^2 — 2xy — y^2$, если $x + y = 1$;

1) Выразим переменную $y$ через $x$:
$x + y = 1$, отсюда $y = 1 — x$;

2) Подставим значение в исходное выражение:
$x^2 — 2xy — y^2 = x^2 — 2x(1 — x) — (1 — x)^2 =$
$= x^2 — 2x + 2x^2 — (1 — 2x + x^2) = 3x^2 — 2x — 1 + 2x — x^2 = 2x^2 — 1$;

$2x^2 \geq 0$, значит наименьшее значение равно $-1$ при $x = 0$;

Ответ: $-1$.

б) $x^2 — 3xy + y^2$, если $x — y = 2$;

1) Выразим переменную $x$ через $y$:
$x — y = 2$, отсюда $x = 2 + y$;

2) Подставим в исходное выражение:
$x^2 — 3xy + y^2 = (2 + y)^2 — 3y(2 + y) + y^2 =$
$= 4 + 4y + y^2 — 6y — 3y^2 + y^2 = -y^2 — 2y + 4 = -(y^2 + 2y + 1) + 5 = -(y + 1)^2 + 5$;

$-(y + 1)^2 \leq 0$, значит наибольшее значение равно $5$ при $y = -1$;

Ответ: $5$.

а) $x^2 — 2xy — y^2$, если $x + y = 1$

Имеется линейное ограничение:
$x + y = 1$.

Это означает, что сумма переменных $x$ и $y$ всегда равна 1, следовательно, одна переменная может быть выражена через другую. Выразим $y$ через $x$:
$y = 1 — x$.

Подставим выражение $y = 1 — x$ в исходное квадратное выражение:
$x^2 — 2xy — y^2$

Подстановка даёт:
$x^2 — 2x(1 — x) — (1 — x)^2$

Распишем каждый элемент по действиям:
Во втором слагаемом:
$-2x(1 — x) = -2x + 2x^2$

В третьем слагаемом:
$(1 — x)^2 = 1 — 2x + x^2$, поэтому:
$— (1 — 2x + x^2) = -1 + 2x — x^2$

Теперь подставим всё в одно выражение:
$x^2 + (-2x + 2x^2) + (-1 + 2x — x^2)$

Уберём скобки:
$x^2 — 2x + 2x^2 — 1 + 2x — x^2$

Сгруппируем подобные члены:
$x^2 + 2x^2 — x^2 = 2x^2$
$-2x + 2x = 0$
$-1$

Итак:
$x^2 — 2x(1 — x) — (1 — x)^2 = 2x^2 — 1$

Функция $2x^2 — 1$ — это квадратичная функция, парабола с ветвями вверх (так как коэффициент при $x^2$ положительный: $2 > 0$).

Минимум параболы достигается при вершине. Найдём координату вершины:
Для функции вида $ax^2 + bx + c$, вершина имеет координату
$x_0 = -\frac{b}{2a}$. Здесь $a = 2$, $b = 0$, следовательно:
$x = -\frac{0}{2 \cdot 2} = 0$

Подставим $x = 0$ в выражение:
$2x^2 — 1 = 2 \cdot 0^2 — 1 = -1$

Ответ: $-1$

б) $x^2 — 3xy + y^2$, если $x — y = 2$

Имеется линейное ограничение:
$x — y = 2$, отсюда выразим $x$ через $y$:
$x = y + 2$

Подставим выражение $x = y + 2$ в исходное выражение:
$x^2 — 3xy + y^2$

Подстановка:
$(y + 2)^2 — 3(y + 2)y + y^2$

Распишем каждую часть:

Первая часть:
$(y + 2)^2 = y^2 + 4y + 4$

Вторая часть:
$-3(y + 2)y = -3y^2 — 6y$

Третья часть:
$y^2$

Теперь объединим всё:
$y^2 + 4y + 4 — 3y^2 — 6y + y^2$

Группируем подобные:
$y^2 — 3y^2 + y^2 = -y^2$
$4y — 6y = -2y$
$+4$

Всё выражение принимает вид:
$-y^2 — 2y + 4$

Преобразуем к квадрату разности:
$-y^2 — 2y + 4 = -(y^2 + 2y + 1) + 5 = -(y + 1)^2 + 5$

Это снова квадратичная функция, ветви вниз, так как перед скобкой знак минус.

Максимум достигается в вершине параболы, а вершина выражения $-(y + 1)^2 + 5$ достигается при $y = -1$

Подставим:
$-( -1 + 1)^2 + 5 = -0 + 5 = 5$

Ответ: $5$