ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 374 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) $\left( \frac{1 + x}{1 — x} \right)^2 + \left( \frac{1 — x}{1 + x} \right)^2 — 2$;

б) $\left( \frac{a^2}{a + 1} — a \right)\left( \frac{5a^2}{a + 1} — a \right) — \left( \frac{2a^2}{a + 1} — a \right)\left( \frac{4a^2}{a + 1} — a \right)$.

а) $\left( \frac{1 + x}{1 — x} \right)^2 + \left( \frac{1 — x}{1 + x} \right)^2 — 2 = \frac{(1 + x)^4 + (1 — x)^4 + 2 \cdot (1 + x)^2 \cdot (1 — x)^2}{(1 + x)^2 \cdot (1 — x)^2}$

$= \frac{\big((1 + x)^2 — (1 — x)^2\big)^2}{(1 + x)^2 \cdot (1 — x)^2} = \frac{\big(1 + 2x + x^2 — 1 + 2x — x^2\big)^2}{(1 + x)^2 \cdot (1 — x)^2}$

$= \frac{(4x)^2}{(1 — x^2)^2} = \left( \frac{4x}{1 — x^2} \right)^2$;

б) $\left( \frac{a^2}{a + 1} — a \right)\left( \frac{5a^2}{a + 1} — a \right) — \left( \frac{2a^2}{a + 1} — a \right)\left( \frac{4a^2}{a + 1} — a \right)$;

Пусть $y = \frac{a^2}{a + 1}$, тогда получим выражение:

$(y — 1)(5y — 1) — (2y — 1)(4y — 1) = (5y^2 — y — 5y + 1) — (8y^2 — 2y — 4y + 1)$

$= 5y^2 — 6y + 1 — 8y^2 + 6y — 1 = -3y^2$;

Подставим значение $y$:

$-3y^2 = -\frac{3a^4}{(a + 1)^2}$.

а) Рассмотрим выражение:
$\left( \frac{1 + x}{1 — x} \right)^2 + \left( \frac{1 — x}{1 + x} \right)^2 — 2$

Обозначим:
$A = \left( \frac{1 + x}{1 — x} \right)^2$,
$B = \left( \frac{1 — x}{1 + x} \right)^2$,
тогда выражение примет вид:
$A + B — 2$

Заметим, что $B = \left( \frac{1}{\frac{1 + x}{1 — x}} \right)^2 = \frac{1}{A}$,
то есть $A + \frac{1}{A} — 2$

Применим тождество:
$A + \frac{1}{A} — 2 = \left( A^{\frac{1}{2}} — A^{-\frac{1}{2}} \right)^2$

То есть
$\left( \frac{1 + x}{1 — x} — \frac{1 — x}{1 + x} \right)^2$

Приведём два дробных выражения к общему знаменателю:
Разность:
$\frac{1 + x}{1 — x} — \frac{1 — x}{1 + x}$

Приведём к общему знаменателю $(1 — x)(1 + x) = 1 — x^2$:

Числитель:
$(1 + x)(1 + x) — (1 — x)(1 — x) = (1 + 2x + x^2) — (1 — 2x + x^2) = 4x$

Итак, выражение становится:
$\frac{4x}{1 — x^2}$

Возведём в квадрат:
$\left( \frac{4x}{1 — x^2} \right)^2 = \frac{16x^2}{(1 — x^2)^2}$

Следовательно:
$\left( \frac{1 + x}{1 — x} \right)^2 + \left( \frac{1 — x}{1 + x} \right)^2 — 2 = \frac{16x^2}{(1 — x^2)^2}$

б) Рассмотрим выражение:
$\left( \frac{a^2}{a + 1} — a \right)\left( \frac{5a^2}{a + 1} — a \right) — \left( \frac{2a^2}{a + 1} — a \right)\left( \frac{4a^2}{a + 1} — a \right)$

Обозначим:
$y = \frac{a^2}{a + 1} \Rightarrow a = \frac{y(a + 1)}{a}$,
но пока рассматриваем как замену для упрощения вида

Первое произведение:
$(y — a)(5y — a)$
Второе произведение:
$(2y — a)(4y — a)$

Подставим и раскроем:

$(y — a)(5y — a) = y \cdot 5y — y \cdot a — a \cdot 5y + a^2 = 5y^2 — 6ay + a^2$

$(2y — a)(4y — a) = 2y \cdot 4y — 2y \cdot a — a \cdot 4y + a^2 = 8y^2 — 6ay + a^2$

Теперь отнимем второе выражение от первого:
$(5y^2 — 6ay + a^2) — (8y^2 — 6ay + a^2) = -3y^2$

Теперь найдём $y^2$ через $a$:
$y = \frac{a^2}{a + 1} \Rightarrow y^2 = \left( \frac{a^2}{a + 1} \right)^2 = \frac{a^4}{(a + 1)^2}$

Следовательно:
$-3y^2 = -3 \cdot \frac{a^4}{(a + 1)^2} = -\frac{3a^4}{(a + 1)^2}$

Ответ:
$-\frac{3a^4}{(a + 1)^2}$