ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 373 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а) $\frac{(x^2 + x — 1)^2 — (x^2 + x — 4)^2}{(x^2 + x — 2)^2 — (x^2 + x — 3)^2} = 3$;

Указание. Используйте подстановку $y = x^2 + x$.

б) $\left(x — \frac{1}{x}\right)\left(4x — \frac{4}{x}\right)\left(9x — \frac{9}{x}\right) — \left(2x — \frac{2}{x}\right)\left(3x — \frac{3}{x}\right)\left(6x — \frac{6}{x}\right) = 0$;

Указание. Используйте подстановку $y = x — \frac{1}{x}$.

а) $\frac{(x^2 + x — 1)^2 — (x^2 + x — 4)^2}{(x^2 + x — 2)^2 — (x^2 + x — 3)^2} = 3$;

Пусть $y = x^2 + x$, тогда:

$\frac{(y — 1)^2 — (y — 4)^2}{(y — 2)^2 — (y — 3)^2} = 3$;

$\frac{(y^2 — 2y + 1) — (y^2 — 8y + 16)}{(y^2 — 4y + 4) — (y^2 — 6y + 9)} = 3$;

$\frac{y^2 — 2y + 1 — y^2 + 8y — 16}{y^2 — 4y + 4 — y^2 + 6y — 9} = 3$;

$\frac{6y — 15}{2y — 5} = 3$;

$3(2y — 5) = 6y — 15 \Rightarrow 6y — 15 = 6y — 15$;

$3 = 3$;

тождество доказано.

б) $\left(x — \frac{1}{x}\right)\left(4x — \frac{4}{x}\right)\left(9x — \frac{9}{x}\right) — \left(2x — \frac{2}{x}\right)\left(3x — \frac{3}{x}\right)\left(6x — \frac{6}{x}\right) = 0$;

Пусть $y = x — \frac{1}{x}$, тогда:

$y \cdot 4y \cdot 9y — 2y \cdot 3y \cdot 6y = 0$;

$36y^3 — 36y^3 = 0$;

$0 = 0$;

тождество доказано.

а) $\frac{(x^2 + x — 1)^2 — (x^2 + x — 4)^2}{(x^2 + x — 2)^2 — (x^2 + x — 3)^2} = 3$

Пусть для удобства подстановки введем новую переменную:

$y = x^2 + x$

Тогда числитель:

$$(x^2 + x — 1)^2 = (y — 1)^2, \quad (x^2 + x — 4)^2 = (y — 4)^2$$

Знаменатель:

$$(x^2 + x — 2)^2 = (y — 2)^2, \quad (x^2 + x — 3)^2 = (y — 3)^2$$

Подставим в исходное выражение:

$$\frac{(y — 1)^2 — (y — 4)^2}{(y — 2)^2 — (y — 3)^2}$$

Распишем каждый квадрат по формуле разложения полного квадрата:

$(y — 1)^2 = y^2 — 2y + 1$

$(y — 4)^2 = y^2 — 8y + 16$

Разность в числителе:

$$y^2 — 2y + 1 — (y^2 — 8y + 16) = y^2 — 2y + 1 — y^2 + 8y — 16 = 6y — 15$$

Аналогично в знаменателе:

$(y — 2)^2 = y^2 — 4y + 4$

$(y — 3)^2 = y^2 — 6y + 9$

Разность в знаменателе:

$$y^2 — 4y + 4 — (y^2 — 6y + 9) = y^2 — 4y + 4 — y^2 + 6y — 9 = 2y — 5$$

Тогда всё выражение примет вид:

$$\frac{6y — 15}{2y — 5}$$

Разделим числитель и знаменатель на общий множитель:

$$\frac{3(2y — 5)}{2y — 5}$$

Сократим:

$$3$$

Равенство доказано, тождество верно.

б)

$$\left(x — \frac{1}{x}\right)\left(4x — \frac{4}{x}\right)\left(9x — \frac{9}{x}\right) — \left(2x — \frac{2}{x}\right)\left(3x — \frac{3}{x}\right)\left(6x — \frac{6}{x}\right) = 0$$

Введем замену переменной:

$y = x — \frac{1}{x}$

Тогда каждое из трёх скобок первого произведения можно представить как:

$$4x — \frac{4}{x} = 4\left(x — \frac{1}{x}\right) = 4y, \quad 9x — \frac{9}{x} = 9\left(x — \frac{1}{x}\right) = 9y$$

Таким образом, первое произведение:

$$y \cdot 4y \cdot 9y = (4 \cdot 9) y^3 = 36y^3$$

Аналогично для второго произведения:

$$2x — \frac{2}{x} = 2\left(x — \frac{1}{x}\right) = 2y, \quad 3x — \frac{3}{x} = 3y, \quad 6x — \frac{6}{x} = 6y$$

Тогда второе произведение:

$$2y \cdot 3y \cdot 6y = (2 \cdot 3 \cdot 6) y^3 = 36y^3$$

Вычитание двух одинаковых выражений:

$$36y^3 — 36y^3 = 0$$

Тождество доказано.