ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 372 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{x^2 — 6x + 5} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$;

Разложим на множители:

$x^2 — 6x + 5 = x^2 — 6x — x + 5 = x(x — 5) — (x — 5) = (x — 1)(x — 5)$;

Получим равенство:

$\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{(x — 1)(x — 5)} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$;

$\frac{x — 5 + 8 — 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 5)} \cdot \frac{(x — 1)(x + 1)}{x} = -\frac{x + 1}{x}$;

$\frac{x + 3 — 2x + 2}{x — 5} \cdot \frac{x + 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$;

$\frac{5 — x}{-(5 — x)} \cdot \frac{x + 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$;

$-1 \cdot \frac{x + 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$;

Тождество доказано.

б) $\frac{x — 1}{x + 6} : \left( \frac{3}{x + 6} + \frac{5x + 2}{x^2 + 5x — 6} — \frac{x}{x — 1} \right) = -1$;

Разложим на множители:

$x^2 + 5x — 6 = x^2 — x + 6x — 6 = x(x — 1) — 6(x — 1) = (x — 6)(x — 1)$;

Получим равенство:

$\frac{x — 1}{x + 6} : \left( \frac{3}{x + 6} + \frac{5x + 2}{(x — 6)(x — 1)} — \frac{x}{x — 1} \right) = -1$;

$\frac{x — 1}{x + 6} : \frac{3(x — 1) + 5x + 2 — x(x + 6)}{(x + 6)(x — 1)} = -1$;

$\frac{x — 1}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6)(x — 1)}{3x — 3 + 5x + 2 — x^2 — 6x} = -1$;

$\frac{x — 1}{1} \cdot \frac{x — 1}{-x^2 — 2x — 1} = -1$;

$\frac{(x — 1)^2}{-(x — 1)^2} = -1$;

$-1 = -1$;

Тождество доказано.

в) $\left( \frac{1}{25x^2 — 1} + \frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{3 + 11x — 20x^2} \right) = -1$;

Разложим на множители:

$3 + 11x — 20x^2 = 3 + 15x — 4x — 20x^2 = 3(1 + 5x) — 4x(1 + 5x) = (3 — 4x)(1 + 5x)$;

Получим равенство:

$\left( \frac{1}{25x^2 — 1} + \frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{(3 — 4x)(1 + 5x)} \right) = -1$;

$\frac{1}{(5x — 1)(5x + 1)} + \frac{x(4x — 3)}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{-(4x — 3)(1 + 5x)} = -1$;

$\frac{1}{(5x — 1)(5x + 1)} — \frac{25x^2}{(5x — 1)(1 + 5x)} = -1$;

$\frac{(1 — 5x)(1 + 5x)}{-(1 — 5x)(1 + 5x)} = -1$;

$-1 = -1$;

Тождество доказано.

г) $\frac{9}{10x^2 — 11x — 6} : \frac{2x + 3}{10x^2 + 4x} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$;

Разложим на множители:

$10x^2 — 11x — 6 = 10x^2 — 15x + 4x — 6 = 5x(2x — 3) + 2(2x — 3) = (5x + 2)(2x — 3)$;

Получим равенство:

$\frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} \cdot \frac{10x^2 + 4x}{2x + 3} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$;

$\frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} \cdot \frac{2x(5x + 2)}{2x + 3} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$;

$\frac{9 \cdot 2x}{(2x — 3)(2x + 3)} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$;

$\frac{18x — 8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$;

$\frac{-2x(4x^2 — 9)}{4x^2 — 9} = -2x$;

$-2x = -2x$;

Тождество доказано.

а) $\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{x^2 — 6x + 5} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$

Разложим знаменатель $x^2 — 6x + 5$ на множители. Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \quad \sqrt{D} = 4$$ $$x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \text{ значит } x^2 — 6x + 5 = (x — 1)(x — 5)$$

Запишем исходное выражение с разложением:

$$\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{(x — 1)(x — 5)} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x}$$

Числитель и знаменатель первой части упрощаем до общего знаменателя $(x — 1)(x — 5)$:

$$\frac{(x-5)+8-2(x-1)}{(x-1)(x-5)}=\frac{x-5+8-2x+2}{(x-1)(x-5)}=\frac{-x+5}{(x-1)(x-5)}$$

$$\frac{(x — 5) + 8 — 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{x — 5 + 8 — 2x + 2}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{-x + 5}{(x — 1)(x — 5)}$$ $$= \frac{-(x — 5)}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{-1}{x — 1}$$

Теперь упростим вторую часть: $\frac{x^2 — 1}{x} = \frac{(x — 1)(x + 1)}{x}$

Тогда всё выражение:

$$\frac{-1}{x — 1} \cdot \frac{(x — 1)(x + 1)}{x} = -\frac{x + 1}{x}$$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

б) $\frac{x — 1}{x + 6} : \left( \frac{3}{x + 6} + \frac{5x + 2}{x^2 + 5x — 6} — \frac{x}{x — 1} \right) = -1$

Разложим $x^2 + 5x — 6$:

$$x^2 + 5x — 6 = (x + 6)(x — 1)$$

Подставим и приведём к общему знаменателю:

$$\left(\frac{3(x-1)+(5x+2)-x(x+6)}{(x+6)(x-1)}\right)$$

$$\left( \frac{3(x — 1) + (5x + 2) — x(x + 6)}{(x + 6)(x — 1)} \right)$$ $$=\frac{3x-3+5x+2-x^2-6x}{(x+6)(x-1)}=\frac{2x-1-x^2}{(x+6)(x-1)}=\frac{-(x^2-2x+1)}{(x+6)(x-1)}$$

$$= \frac{3x — 3 + 5x + 2 — x^2 — 6x}{(x + 6)(x — 1)} = \frac{2x — 1 — x^2}{(x + 6)(x — 1)} = \frac{-(x^2 — 2x + 1)}{(x + 6)(x — 1)}$$ $$= \frac{-(x — 1)^2}{(x + 6)(x — 1)} = \frac{-(x — 1)}{x + 6}$$

Деление дробей заменим умножением на обратную:

$$\frac{x — 1}{x + 6} \cdot \frac{x + 6}{-(x — 1)} = -1$$

Тождество доказано.

в) $\left( \frac{1}{25x^2 — 1} + \frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{3 + 11x — 20x^2} \right) = -1$

Разложим $25x^2 — 1 = (5x — 1)(5x + 1)$

Разложим $3 + 11x — 20x^2 = -20x^2 + 11x + 3$

Найдём корни:

$$D=121+240=361,\sqrt{D}=19,x=\frac{-11\pm 19}{-40}$$

$$D = 121 + 240 = 361, \sqrt{D} = 19, \quad x = \frac{-11 \pm 19}{-40}$$ $$x_1 = \frac{-11 + 19}{-40} = \frac{-8}{-40} = \frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{-11 — 19}{-40} = \frac{-30}{-40} = \frac{3}{4}$$

Тогда:

$$3 + 11x — 20x^2 = -20x^2 + 11x + 3 = -(4x — 3)(5x — 1)$$

Теперь:

$$\frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} = \frac{x(4x — 3)}{5x — 1}, \quad \frac{25x}{3 + 11x — 20x^2} = \frac{25x}{-(4x — 3)(5x — 1)}$$

Тогда произведение:

$$\frac{x(4x — 3)}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{-(4x — 3)(5x — 1)} = -\frac{25x^2}{(5x — 1)(5x + 1)}$$

Добавим первую дробь:

$$\frac{1 — 25x^2}{(5x — 1)(5x + 1)} = \frac{-(25x^2 — 1)}{(5x — 1)(5x + 1)} = -1$$

Тождество доказано.

г) $\frac{9}{10x^2 — 11x — 6} : \frac{2x + 3}{10x^2 + 4x} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$

Разложим:

$10x^2 — 11x — 6 = (5x + 2)(2x — 3)$, $10x^2 + 4x = 2x(5x + 2)$, $4x^2 — 9 = (2x — 3)(2x + 3)$

Тогда:

$$\frac{9}{(5x+2)(2x-3)}:\frac{2x+3}{2x(5x+2)}=\frac{9}{(5x+2)(2x-3)}\cdot \frac{2x(5x+2)}{2x+3}$$

$$\frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} : \frac{2x + 3}{2x(5x + 2)} = \frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} \cdot \frac{2x(5x + 2)}{2x + 3}$$ $$= \frac{9 \cdot 2x}{(2x — 3)(2x + 3)} = \frac{18x}{4x^2 — 9}$$

Тогда всё выражение:

$$\frac{18x}{4x^2-9}-\frac{8x^3}{4x^2-9}=\frac{18x-8x^3}{4x^2-9}$$

$$\frac{18x}{4x^2 — 9} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = \frac{18x — 8x^3}{4x^2 — 9}$$ $$= \frac{-2x(4x^2 — 9)}{4x^2 — 9} = -2x$$

Тождество доказано.