ГДЗ Дорофеев 9 Класс по Алгебре Шарыгин Учебник 📕 Суворова- Все Части

Алгебра

9 класс учебник Дорофеев

9 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др.

Год

2022.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник по Алгебре для 9-го класса авторов Дорофеева и Суворова — это современное и продуманное пособие, которое помогает школьникам не только освоить базовые математические понятия, но и развить логическое мышление и умение применять знания на практике. Книга построена так, чтобы учебный материал был доступен и интересен даже тем, кто раньше испытывал трудности с математикой.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 372 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Задача

Докажите тождество:

а) $\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{x^2 — 6x + 5} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$ ;

б) $\frac{x — 1}{x + 6} : \left( \frac{3}{x + 6} + \frac{5x + 2}{x^2 + 5x — 6} — \frac{x}{x — 1} \right) = -1$ ;

в) $\left( \frac{1}{25x^2 — 1} + \frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{3 + 11x — 20x^2} \right) = -1$ ;

г) $\frac{9}{10x^2 — 11x — 6} : \frac{2x + 3}{10x^2 + 4x} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$ ;

Краткий ответ:

а) $\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{x^2 — 6x + 5} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$ ;

Разложим на множители:

$x^2 — 6x + 5 = x^2 — 6x — x + 5 = x(x — 5) — (x — 5) = (x — 1)(x — 5)$ ;

Получим равенство:

$\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{(x — 1)(x — 5)} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$ ;

$\frac{x — 5 + 8 — 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 5)} \cdot \frac{(x — 1)(x + 1)}{x} = -\frac{x + 1}{x}$ ;

$\frac{x + 3 — 2x + 2}{x — 5} \cdot \frac{x + 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$ ;

$\frac{5 — x}{-(5 — x)} \cdot \frac{x + 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$ ;

$-1 \cdot \frac{x + 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$ ;

Тождество доказано.

б) $\frac{x — 1}{x + 6} : \left( \frac{3}{x + 6} + \frac{5x + 2}{x^2 + 5x — 6} — \frac{x}{x — 1} \right) = -1$ ;

Разложим на множители:

$x^2 + 5x — 6 = x^2 — x + 6x — 6 = x(x — 1) — 6(x — 1) = (x — 6)(x — 1)$ ;

Получим равенство:

$\frac{x — 1}{x + 6} : \left( \frac{3}{x + 6} + \frac{5x + 2}{(x — 6)(x — 1)} — \frac{x}{x — 1} \right) = -1$ ;

$\frac{x — 1}{x + 6} : \frac{3(x — 1) + 5x + 2 — x(x + 6)}{(x + 6)(x — 1)} = -1$ ;

$\frac{x — 1}{x + 6} \cdot \frac{(x + 6)(x — 1)}{3x — 3 + 5x + 2 — x^2 — 6x} = -1$ ;

$\frac{x — 1}{1} \cdot \frac{x — 1}{-x^2 — 2x — 1} = -1$ ;

$\frac{(x — 1)^2}{-(x — 1)^2} = -1$ ;

$-1 = -1$ ;

Тождество доказано.

в) $\left( \frac{1}{25x^2 — 1} + \frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{3 + 11x — 20x^2} \right) = -1$ ;

Разложим на множители:

$3 + 11x — 20x^2 = 3 + 15x — 4x — 20x^2 = 3(1 + 5x) — 4x(1 + 5x) = (3 — 4x)(1 + 5x)$ ;

Получим равенство:

$\left( \frac{1}{25x^2 — 1} + \frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{(3 — 4x)(1 + 5x)} \right) = -1$ ;

$\frac{1}{(5x — 1)(5x + 1)} + \frac{x(4x — 3)}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{-(4x — 3)(1 + 5x)} = -1$ ;

$\frac{1}{(5x — 1)(5x + 1)} — \frac{25x^2}{(5x — 1)(1 + 5x)} = -1$ ;

$\frac{(1 — 5x)(1 + 5x)}{-(1 — 5x)(1 + 5x)} = -1$ ;

$-1 = -1$ ;

Тождество доказано.

г) $\frac{9}{10x^2 — 11x — 6} : \frac{2x + 3}{10x^2 + 4x} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$ ;

Разложим на множители:

$10x^2 — 11x — 6 = 10x^2 — 15x + 4x — 6 = 5x(2x — 3) + 2(2x — 3) = (5x + 2)(2x — 3)$ ;

Получим равенство:

$\frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} \cdot \frac{10x^2 + 4x}{2x + 3} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$ ;

$\frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} \cdot \frac{2x(5x + 2)}{2x + 3} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$ ;

$\frac{9 \cdot 2x}{(2x — 3)(2x + 3)} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$ ;

$\frac{18x — 8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$ ;

$\frac{-2x(4x^2 — 9)}{4x^2 — 9} = -2x$ ;

$-2x = -2x$ ;

Тождество доказано.

Подробный ответ:

а) $\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{x^2 — 6x + 5} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x} = -\frac{x + 1}{x}$

Разложим знаменатель $x^2 — 6x + 5$ на множители. Найдём корни квадратного трёхчлена:

$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \quad \sqrt{D} = 4$ $x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5, \text{ значит } x^2 — 6x + 5 = (x — 1)(x — 5)$

Запишем исходное выражение с разложением:

$\left( \frac{1}{x — 1} + \frac{8}{(x — 1)(x — 5)} — \frac{2}{x — 5} \right) \cdot \frac{x^2 — 1}{x}$

Числитель и знаменатель первой части упрощаем до общего знаменателя $(x — 1)(x — 5)$ :

$\frac{(x - 5) + 8 - 2 (x - 1)}{(x - 1) (x - 5)} = \frac{x - 5 + 8 - 2 x + 2}{(x - 1) (x - 5)} = \frac{- x + 5}{(x - 1) (x - 5)}$

$\frac{(x — 5) + 8 — 2(x — 1)}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{x — 5 + 8 — 2x + 2}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{-x + 5}{(x — 1)(x — 5)}$ $= \frac{-(x — 5)}{(x — 1)(x — 5)} = \frac{-1}{x — 1}$

Теперь упростим вторую часть: $\frac{x^2 — 1}{x} = \frac{(x — 1)(x + 1)}{x}$

Тогда всё выражение:

$\frac{-1}{x — 1} \cdot \frac{(x — 1)(x + 1)}{x} = -\frac{x + 1}{x}$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

б) $\frac{x — 1}{x + 6} : \left( \frac{3}{x + 6} + \frac{5x + 2}{x^2 + 5x — 6} — \frac{x}{x — 1} \right) = -1$

Разложим $x^2 + 5x — 6$ :

$x^2 + 5x — 6 = (x + 6)(x — 1)$

Подставим и приведём к общему знаменателю:

$(\frac{3 (x - 1) + (5 x + 2) - x (x + 6)}{(x + 6) (x - 1)})$

$\left( \frac{3(x — 1) + (5x + 2) — x(x + 6)}{(x + 6)(x — 1)} \right)$ $= \frac{3 x - 3 + 5 x + 2 - x^{2} - 6 x}{(x + 6) (x - 1)} = \frac{2 x - 1 - x^{2}}{(x + 6) (x - 1)} = \frac{- (x^{2} - 2 x + 1)}{(x + 6) (x - 1)}$

$= \frac{3x — 3 + 5x + 2 — x^2 — 6x}{(x + 6)(x — 1)} = \frac{2x — 1 — x^2}{(x + 6)(x — 1)} = \frac{-(x^2 — 2x + 1)}{(x + 6)(x — 1)}$ $= \frac{-(x — 1)^2}{(x + 6)(x — 1)} = \frac{-(x — 1)}{x + 6}$

Деление дробей заменим умножением на обратную:

$\frac{x — 1}{x + 6} \cdot \frac{x + 6}{-(x — 1)} = -1$

Тождество доказано.

в) $\left( \frac{1}{25x^2 — 1} + \frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{3 + 11x — 20x^2} \right) = -1$

Разложим $25x^2 — 1 = (5x — 1)(5x + 1)$

Разложим $3 + 11x — 20x^2 = -20x^2 + 11x + 3$

Найдём корни:

$D = 121 + 240 = 361, \sqrt{D} = 19, x = \frac{- 11 \pm 19}{- 40}$

$D = 121 + 240 = 361, \sqrt{D} = 19, \quad x = \frac{-11 \pm 19}{-40}$ $x_1 = \frac{-11 + 19}{-40} = \frac{-8}{-40} = \frac{1}{5}, \quad x_2 = \frac{-11 — 19}{-40} = \frac{-30}{-40} = \frac{3}{4}$

Тогда:

$3 + 11x — 20x^2 = -20x^2 + 11x + 3 = -(4x — 3)(5x — 1)$

Теперь:

$\frac{4x^2 — 3x}{5x — 1} = \frac{x(4x — 3)}{5x — 1}, \quad \frac{25x}{3 + 11x — 20x^2} = \frac{25x}{-(4x — 3)(5x — 1)}$

Тогда произведение:

$\frac{x(4x — 3)}{5x — 1} \cdot \frac{25x}{-(4x — 3)(5x — 1)} = -\frac{25x^2}{(5x — 1)(5x + 1)}$

Добавим первую дробь:

$\frac{1 — 25x^2}{(5x — 1)(5x + 1)} = \frac{-(25x^2 — 1)}{(5x — 1)(5x + 1)} = -1$

Тождество доказано.

г) $\frac{9}{10x^2 — 11x — 6} : \frac{2x + 3}{10x^2 + 4x} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = -2x$

Разложим:

$10x^2 — 11x — 6 = (5x + 2)(2x — 3)$ , $10x^2 + 4x = 2x(5x + 2)$ , $4x^2 — 9 = (2x — 3)(2x + 3)$

Тогда:

$\frac{9}{(5 x + 2) (2 x - 3)} : \frac{2 x + 3}{2 x (5 x + 2)} = \frac{9}{(5 x + 2) (2 x - 3)} \cdot \frac{2 x (5 x + 2)}{2 x + 3}$

$\frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} : \frac{2x + 3}{2x(5x + 2)} = \frac{9}{(5x + 2)(2x — 3)} \cdot \frac{2x(5x + 2)}{2x + 3}$ $= \frac{9 \cdot 2x}{(2x — 3)(2x + 3)} = \frac{18x}{4x^2 — 9}$

Тогда всё выражение:

$\frac{18 x}{4 x^{2} - 9} - \frac{8 x^{3}}{4 x^{2} - 9} = \frac{18 x - 8 x^{3}}{4 x^{2} - 9}$

$\frac{18x}{4x^2 — 9} — \frac{8x^3}{4x^2 — 9} = \frac{18x — 8x^3}{4x^2 — 9}$ $= \frac{-2x(4x^2 — 9)}{4x^2 — 9} = -2x$

Тождество доказано.

Оцени решение