ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 371 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите выражение, при подстановке которого вместо А в данное равенство получается тождество, и выполните проверку:

а) $\frac{2x + 9}{x^2 — x — 6} = \frac{3}{x — 3} + A$;

б) $A + \frac{3}{x — 4} = \frac{6x — 15}{x^2 — 5x + 4}$;

в) $\frac{2}{x^2 + 3x + 2} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2}$;

г) $A : \frac{x — 4}{x — 1} = \frac{x}{x^2 — x — 12}$.

а) $\frac{2x + 9}{x^2 — x — 6} = \frac{3}{x — 3} + A$;

$A = \frac{2x + 9}{x^2 — x — 6} — \frac{3}{x — 3} = \frac{2x + 9 — 3(x + 2)}{(x — 3)(x + 2)} = \frac{2x + 9 — 3x — 6}{(x — 3)(x + 2)} = \frac{-x + 3}{(x — 3)(x + 2)} = -\frac{1}{x + 2}$;

проверка:
$\frac{3}{x — 3} — \frac{1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) — (x — 3)}{(x — 3)(x + 2)} = \frac{3x + 6 — x + 3}{x^2 — x — 6} = \frac{2x + 9}{x^2 — x — 6}$.

б) $A + \frac{3}{x — 4} = \frac{6x — 15}{x^2 — 5x + 4}$;

$A = \frac{6x — 15 — 3(x — 1)}{(x — 4)(x — 1)} = \frac{6x — 15 — 3x + 3}{(x — 4)(x — 1)} = \frac{3x — 12}{(x — 4)(x — 1)} = \frac{3}{x — 1}$;

проверка:
$\frac{3}{x — 1} + \frac{3}{x — 4} = \frac{3(x — 4) + 3(x — 1)}{(x — 1)(x — 4)} = \frac{6x — 15}{x^2 — 5x + 4}$.

в) $\frac{2}{x^2 + 3x + 2} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2}$;

$A = \frac{2}{x^2 + 3x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)}$;

проверка:
$\frac{2}{(x + 1)(x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x^2 + 3x + 2}$.

г) $A : \frac{x — 4}{x — 1} = \frac{x}{x^2 — x — 12}$;

$A = \frac{x}{x^2 — x — 12} \cdot \frac{x — 4}{x — 1} = \frac{x(x — 4)}{(x — 1)(x + 3)(x — 4)} = \frac{x}{(x — 1)(x + 3)}$;

проверка:
$\frac{x}{(x — 1)(x + 3)} \div \frac{x — 4}{x — 1} = \frac{x}{x^2 — x — 12}$.

а) $\frac{2x + 9}{x^2 — x — 6} = \frac{3}{x — 3} + A$

Разложим знаменатель $x^2 — x — 6$ на множители:

$x^2 — x — 6 = (x — 3)(x + 2)$

Домножим правую часть до общего знаменателя:

$\frac{3}{x — 3} = \frac{3(x + 2)}{(x — 3)(x + 2)}$

Вычтем из левой части дробь:

$$A = \frac{2x + 9}{(x — 3)(x + 2)} — \frac{3(x + 2)}{(x — 3)(x + 2)} = \frac{2x + 9 — 3(x + 2)}{(x — 3)(x + 2)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$2x + 9 — 3x — 6 = -x + 3$$

Тогда:

$$A = \frac{-x + 3}{(x — 3)(x + 2)} = \frac{-(x — 3)}{(x — 3)(x + 2)} = -\frac{1}{x + 2}$$

Проверка:

$$\frac{3}{x — 3} — \frac{1}{x + 2} = \frac{3(x + 2) — (x — 3)}{(x — 3)(x + 2)} = \frac{3x + 6 — x + 3}{x^2 — x — 6} = \frac{2x + 9}{x^2 — x — 6}$$

Совпадает.

б) $A + \frac{3}{x — 4} = \frac{6x — 15}{x^2 — 5x + 4}$

Разложим знаменатель $x^2 — 5x + 4$ на множители:

$x^2 — 5x + 4 = (x — 4)(x — 1)$

Домножим вторую дробь до общего знаменателя:

$\frac{3}{x — 4} = \frac{3(x — 1)}{(x — 4)(x — 1)}$

Вычтем из правой части:

$$A = \frac{6x — 15}{(x — 4)(x — 1)} — \frac{3(x — 1)}{(x — 4)(x — 1)} = \frac{6x — 15 — 3x + 3}{(x — 4)(x — 1)}$$

Преобразуем числитель:

$$6x — 15 — 3x + 3 = 3x — 12 = 3(x — 4)$$

Тогда:

$$A = \frac{3(x — 4)}{(x — 4)(x — 1)} = \frac{3}{x — 1}$$

Проверка:

$$\frac{3}{x — 1} + \frac{3}{x — 4} = \frac{3(x — 4) + 3(x — 1)}{(x — 1)(x — 4)} = \frac{3x — 12 + 3x — 3}{x^2 — 5x + 4} = \frac{6x — 15}{x^2 — 5x + 4}$$

Совпадает.

в) $\frac{2}{x^2 + 3x + 2} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2}$

Разложим знаменатель:

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

Тогда исходная дробь:

$$\frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2}$$

Домножим правую часть:

$$A = \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)}$$

Проверка:

$$\frac{2}{(x + 1)(x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x^2 + 3x + 2}$$

Совпадает.

г) $A : \frac{x — 4}{x — 1} = \frac{x}{x^2 — x — 12}$

Разложим знаменатель:

$x^2 — x — 12 = (x — 4)(x + 3)$

Заменим деление на умножение:

$$A = \frac{x}{(x — 4)(x + 3)} \cdot \frac{x — 4}{x — 1} = \frac{x(x — 4)}{(x — 4)(x + 3)(x — 1)} = \frac{x}{(x + 3)(x — 1)}$$

Проверка:

$$\frac{x}{(x + 3)(x — 1)} \div \frac{x — 4}{x — 1} = \frac{x}{(x + 3)(x — 1)} \cdot \frac{x — 1}{x — 4} = \frac{x}{(x + 3)(x — 4)} = \frac{x}{x^2 — x — 12}$$

Совпадает.