ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 370 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а)  $(x^2-x+1)(x^2+x+1)=x^4+x^2+1$;

$x^2(x^2+x+1)-x(x^2+x+1)+1(x^2+x+1)=$

$x^4+x^3+x^2-x^3-x^2-x+x^2+x+1=x^4+x^2+1$;

$x^4+x^2+1=x^4+x^2+1$;

Тождество доказано.

б) $(1+y\sqrt{2}+y^2)(1-y\sqrt{2}+y^2)=1+y^4$;

Представим оба множителя в виде суммы и разности одинаковых выражений:

$(1+y^2+y\sqrt{2})(1+y^2-y\sqrt{2})=(1+y^2{)}^2-(y\sqrt{2}{)}^2=1+2y^2+y^4-2y^2=1+y^4$;

$1+y^4=1+y^4$;

Тождество доказано.

а) $(x^2-x+1)(x^2+x+1)=x^4+x^2+1$;

Рассмотрим перемножение двух многочленов, каждый из которых представляет собой трехчлен:

$$(x^2-x+1)(x^2+x+1)$$

Раскроем скобки методом почленного умножения каждого элемента первой скобки на каждый элемент второй скобки:

$$=x^2\cdot x^2+x^2\cdot x+x^2\cdot 1-x\cdot x^2-x\cdot x-x\cdot 1+1\cdot x^2+1\cdot x+1\cdot 1$$

$$=x^4+x^3+x^2-x^3-x^2-x+x^2+x+1$$

Теперь сгруппируем и приведем подобные члены:

$$x^4+(x^3-x^3)+(x^2-x^2+x^2)+(-x+x)+1=x^4+x^2+1$$

Получили:

$$(x^2-x+1)(x^2+x+1)=x^4+x^2+1$$

Равенство тождественное, левая и правая части полностью совпадают.

б) $(1+y\sqrt{2}+y^2)(1-y\sqrt{2}+y^2)=1+y^4$;

Заметим, что множители симметричны по форме и отличаются только знаком перед $y\sqrt{2}$.

Группируем их следующим образом:

$$(1+y^2+y\sqrt{2})(1+y^2-y\sqrt{2})$$

Это произведение двух сопряжённых выражений, имеющих вид:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Здесь:

• $a=1+y^2$
• $b=y\sqrt{2}$

Применим формулу разности квадратов:

$$(1+y^2{)}^2-(y\sqrt{2}{)}^2$$

Рассчитаем каждый квадрат отдельно:

$$(1+y^2{)}^2=1^2+2\cdot 1\cdot y^2+(y^2{)}^2=1+2y^2+y^4$$

$$(y\sqrt{2}{)}^2=y^2\cdot 2=2y^2$$

Теперь подставим в выражение:

$$(1+2y^2+y^4)-2y^2=1+y^4$$

Таким образом:

$$(1+y\sqrt{2}+y^2)(1-y\sqrt{2}+y^2)=1+y^4$$

Левая и правая части тождества совпадают. Равенство доказано.

а) $(x^2 — x + 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^2 + 1$;

Почленное перемножение трёхчленов:

$(x^2 — x + 1)(x^2 + x + 1) = x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot x + x^2 \cdot 1 — x \cdot x^2 — x \cdot x — x \cdot 1 + 1 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 1$

Полученная сумма мономов:

$x^4 + x^3 + x^2 — x^3 — x^2 — x + x^2 + x + 1$

Группировка по степеням и приведение подобных:

$x^4 + (x^3 — x^3) + (x^2 — x^2 + x^2) + (-x + x) + 1 = x^4 + x^2 + 1$

Альтернативный способ через разность квадратов:

$(x^2 — x + 1)(x^2 + x + 1) = \big((x^2 + 1) — x\big)\big((x^2 + 1) + x\big) = (x^2 + 1)^2 — x^2 = x^4 + 2x^2 + 1 — x^2 = x^4 + x^2 + 1$

Проверка равенства значениями: при $x = 0$

левая часть $(0 — 0 + 1)(0 + 0 + 1) = 1$, правая часть $0 + 0 + 1 = 1$;

при $x = 1$ левая часть $(1 — 1 + 1)(1 + 1 + 1) = 1 \cdot 3 = 3$,

правая часть $1 + 1 + 1 = 3$

Равенство установлено:

$(x^2 — x + 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^2 + 1$

б) $(1 + y^2 + y^2)(1 — y^2 + y^2) = 1 + 2y^2$;

Перегруппировка с вынесением общей структуры:

$(1 + y^2 + y^2) = (1 + y^2) + y^2$, $(1 — y^2 + y^2) = (1 + y^2) — y^2$

Представление в виде произведения сопряжённых:

$\big((1 + y^2) + y^2\big)\big((1 + y^2) — y^2\big)$

Применение формулы разности квадратов

$(a + b)(a — b) = a^2 — b^2$ при $a = 1 + y^2$,$b = y^2$:

$(1 + y^2)^2 — (y^2)^2$

Возведение в квадрат по отдельности:

$(1 + y^2)^2 = 1 + 2y^2 + y^4$, $(y^2)^2 = y^4$

Подстановка и упрощение:

$(1 + 2y^2 + y^4) — y^4 = 1 + 2y^2$

Проверка значениями: при $y = 0$ левая часть $(1 + 0 + 0)(1 — 0 + 0) = 1$,

правая часть $1 + 0 = 1$; при $y = 1$ левая часть $(1 + 1 + 1)(1 — 1 + 1) = 3 \cdot 1 = 3$,

правая часть $1 + 2 = 3$.

Тождество получено:

$(1 + y^2 + y^2)(1 — y^2 + y^2) = 1 + 2y^2$