ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 369 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество (368-370)

а) $(m-1)(m+1)(m^2+1)-(m^2-1{)}^2-m^2=m^2-2$;

б) $(a^2+3{)}^2-(a-3)(a+3)(a^2+9)=6(a^2+15)$;

а) $(m-1)(m+1)(m^2+1)-(m^2-1{)}^2-m^2=m^2-2$;

$(m^2-1)(m^2+1)-(m^4-2m^2+1)-m^2=m^2-2$;

$m^4+m^2-m^2-1-m^4+2m^2-1-m^2=m^2-2$;

$m^2-2=m^2-2$;

Тождество доказано.

б) $(a^2+3{)}^2-(a-3)(a+3)(a^2+9)=6(a^2+15)$;

$a^4+6a^2+9-(a^2-9)(a^2+9)=6a^2+90$;

$a^4+6a^2+9-(a^4-81)=6a^2+90$;

$a^4+6a^2+9-a^4+81=6a^2+90$;

$6a^2+90=6a^2+90$;

Тождество доказано.

а) $(m-1)(m+1)(m^2+1)-(m^2-1{)}^2-m^2=m^2-2$;

Первый множитель $(m-1)(m+1)$ — это разность квадратов, по формуле:

$(m-1)(m+1)=m^2-1$,

тогда всё выражение перепишем как:

$(m^2-1)(m^2+1)-(m^2-1{)}^2-m^2$.

Первый элемент:
Произведение двух многочленов $(m^2-1)(m^2+1)$ — снова разность квадратов:

$(m^2-1)(m^2+1)=m^4-1$.

Второй элемент:
$(m^2-1{)}^2=m^4-2m^2+1$.

Теперь подставим:

$m^4-1-(m^4-2m^2+1)-m^2$.

Раскроем скобки:

$m^4-1-m^4+2m^2-1-m^2$.

Сгруппируем одинаковые члены:

$(m^4-m^4)+(2m^2-m^2)+(-1-1)=0+m^2-2$.

Получаем:

$m^2-2$, что совпадает с правой частью исходного равенства.

Результат: тождество доказано.

б) $(a^2+3{)}^2-(a-3)(a+3)(a^2+9)=6(a^2+15)$;

Первый элемент $(a^2+3{)}^2$ раскрывается по формуле квадрата суммы:

$(a^2+3{)}^2=a^4+6a^2+9$.

Второй элемент $(a-3)(a+3)$ — снова разность квадратов:

$(a-3)(a+3)=a^2-9$,

а значит всё произведение будет:

$(a^2-9)(a^2+9)$.

Это снова разность квадратов:

$(a^2-9)(a^2+9)=a^4-81$.

Теперь запишем выражение:

$a^4+6a^2+9-(a^4-81)$.

Раскроем скобки:

$a^4+6a^2+9-a^4+81$.

Сгруппируем:

$(a^4-a^4)+6a^2+(9+81)=0+6a^2+90$.

Получаем:

$6a^2+90=6(a^2+15)$, что совпадает с правой частью равенства.

Результат: тождество доказано.