ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 368 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество (368-370)
а) $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b{)}^3$;

б) $a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b{)}^3$.

а) $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b{)}^3$;

$a^3+3ab(a+b)+b^3=a^3+3ab\cdot a+3ab\cdot b+b^3=a^3+3a^{2}b+$

$3a{b}^2+b^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$;

Тождество доказано.

б) $a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b{)}^3$;

$a^3-3ab(a-b)-b^3=a^3-3ab\cdot a+3ab\cdot b-b^3=$

$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$;

Тождество доказано.

а) $a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b{)}^3$;

Распишем правую часть по формуле куба суммы:

$$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Теперь рассмотрим левую часть выражения:

$$a^3+3ab(a+b)+b^3$$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$$3ab(a+b)=3ab\cdot a+3ab\cdot b=3a^{2}b+3a{b}^2$$

Теперь перепишем все слагаемые левой части:

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Сравним полученное с правой частью:

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Левая и правая части полностью совпадают, следовательно:

$$a^3+3ab(a+b)+b^3=(a+b{)}^3$$

тождество доказано.

б) $a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b{)}^3$;

Распишем правую часть по формуле куба разности:

$$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Теперь рассмотрим левую часть:

$$a^3-3ab(a-b)-b^3$$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$$-3ab(a-b)=-3ab\cdot a+3ab\cdot b=-3a^{2}b+3a{b}^2$$

Теперь перепишем всю левую часть:

$$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Сравним с правой частью:

$$a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$$

Левая и правая части совпадают, значит:

$$a^3-3ab(a-b)-b^3=(a-b{)}^3$$

тождество доказано.