ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 367 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\frac{m^2 — 12mn + 35n^2}{m^2 — 25n^2}$

б) $\frac{a^2 — 7ab + 6b^2}{a^2 — 2ab + b^2}$

в) $\frac{4y^2 — x^2}{x^2 — 7xy + 10y^2}$

г) $\frac{15p^2 — 8pq + q^2}{5pq — q^2}$

а) $\frac{m^2 — 12mn + 35n^2}{m^2 — 25n^2} = \frac{m^2 — 7mn — 5mn + 35n^2}{(m — 5n)(m + 5n)} = \frac{m(m — 7n) — 5n(m — 7n)}{(m — 5n)(m + 5n)} = \frac{(m — 5n)(m — 7n)}{(m — 5n)(m + 5n)} = \frac{m — 7n}{m + 5n}$

б) $\frac{a^2 — 7ab + 6b^2}{a^2 — 2ab + b^2} = \frac{a^2 — ab — 6ab + 6b^2}{(a — b)^2} = \frac{a(a — b) — 6b(a — b)}{(a — b)^2} = \frac{(a — 6b)(a — b)}{(a — b)^2} = \frac{a — 6b}{a — b}$

в) $\frac{4y^2 — x^2}{x^2 — 7xy + 10y^2} = \frac{(2y — x)(2y + x)}{x^2 — 5xy — 2xy + 10y^2} = \frac{(2y — x)(2y + x)}{x(x — 5y) — 2y(x — 5y)} = \frac{-(x — 2y)(2y + x)}{(x — 2y)(x — 5y)} = -\frac{2y + x}{x — 5y} = \frac{2y + x}{5y — x}$

г) $\frac{15p^2 — 8pq + q^2}{5pq — q^2} = \frac{15p^2 — 5pq — 3pq + q^2}{q(5p — q)} = \frac{5p(3p — q) — q(3p — q)}{q(5p — q)} = \frac{(5p — q)(3p — q)}{q(5p — q)} = \frac{3p — q}{q}$

а) $\frac{m^2-12mn+35n^2}{m^2-25n^2}$

Разложим числитель по формуле разложения квадратного трёхчлена:

Числитель:
$m^2 — 12mn + 35n^2 = m^2 — 7mn — 5mn + 35n^2$
Группируем члены:
$= (m^2 — 7mn) — (5mn — 35n^2) = m(m — 7n) — 5n(m — 7n)$
Выносим общий множитель:
$= (m — 5n)(m — 7n)$

Знаменатель:
$m^2 — 25n^2$ — разность квадратов:
$= (m — 5n)(m + 5n)$

Дробь становится:
$\frac{(m — 5n)(m — 7n)}{(m — 5n)(m + 5n)}$

Сокращаем на $(m — 5n)$:
$= \frac{m — 7n}{m + 5n}$

б) $\frac{a^2-7ab+6b^2}{a^2-2ab+b^2}$$\frac{a^2 — 7ab + 6b^2}{a^2 — 2ab + b^2}$

Числитель:
$a^2 — 7ab + 6b^2 = a^2 — ab — 6ab + 6b^2 = a(a — b) — 6b(a — b)$
Выносим общий множитель:
$= (a — 6b)(a — b)$

Знаменатель:
$a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$ — формула квадрата разности

Тогда:
$\frac{(a — 6b)(a — b)}{(a — b)^2}$

Сокращаем на $(a — b)$:
$= \frac{a — 6b}{a — b}$

в) $\frac{4y^2-x^2}{x^2-7xy+10y^2}$$\frac{4y^2 — x^2}{x^2 — 7xy + 10y^2}$

Числитель:
$4y^2 — x^2 = (2y)^2 — x^2 = (2y — x)(2y + x)$

Знаменатель:
$x^2 — 7xy + 10y^2$ — подбираем разложение:
Находим такие два числа, которые в сумме дают $-7$, а в произведении $10$:
$= x^2 — 5xy — 2xy + 10y^2 = x(x — 5y) — 2y(x — 5y) = (x — 2y)(x — 5y)$

Таким образом:
$\frac{(2y — x)(2y + x)}{(x — 2y)(x — 5y)}$

Заметим, что $2y — x = -(x — 2y)$, значит числитель:
$= -(x — 2y)(2y + x)$

Тогда:
$\frac{-(x — 2y)(2y + x)}{(x — 2y)(x — 5y)}$

Сокращаем на $(x — 2y)$:
$= -\frac{2y + x}{x — 5y} = \frac{2y + x}{5y — x}$

г) $\frac{15p^2-8pq+q^2}{5pq-q^2}$$\frac{15p^2 — 8pq + q^2}{5pq — q^2}$

Числитель:
$15p^2 — 8pq + q^2 = 15p^2 — 5pq — 3pq + q^2 = 5p(3p — q) — q(3p — q) = (5p — q)(3p — q)$

Знаменатель:
$5pq — q^2 = q(5p — q)$

Дробь:
$\frac{(5p — q)(3p — q)}{q(5p — q)}$

Сокращаем на $(5p — q)$:
$= \frac{3p — q}{q}$