ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 364 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Для каждой из функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ укажите соответствующий графику, если:

а) $f(x) = \frac{1}{x^2 — 1}$, $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ (рис. 3.3);

б) $f(x) = \frac{1}{x^2 — 2x + 2}$, $g(x) = \frac{1}{x^2 — 2x + 1}$ (рис. 3.4).

а) $f(x) = \frac{1}{x^2 — 1}$;

Не имеет смысла при:
$x^2 — 1 = 0$;
$x^2 = 1$, отсюда $x = \pm 1$;

Соответствует графику 2;

$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$;

Не имеет смысла при:
$x^2 + 1 = 0$;
$x^2 = -1$ — корней нет;

Соответствует графику 1;

б) $f(x) = \frac{1}{x^2 — 2x + 2}$;

Не имеет смысла при:
$x^2 — 2x + 2 = 0$;
$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$;
$D < 0$, значит корней нет;

Соответствует графику 1;

$g(x) = \frac{1}{x^2 — 2x + 1}$;

Не имеет смысла при:
$x^2 — 2x + 1 = 0$;
$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 — 4 = 0$, тогда:
$x = \frac{2}{2} = 1$;

Соответствует графику 2.

а) $f(x) = \frac{1}{x^2 — 1}$

Рассмотрим выражение в знаменателе функции $f(x)$, то есть $x^2 — 1$.
Для нахождения области определения необходимо исключить из множества значений те значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, так как деление на ноль не определено:

Найдём значения, при которых знаменатель равен нулю:

$$x^2 — 1 = 0$$

Решим уравнение:

$$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Следовательно, функция $f(x)$ не определена при $x = 1$ и $x = -1$. При всех других значениях $x$ выражение имеет смысл. Это означает, что вертикальные асимптоты (прямые, к которым график стремится, но не пересекает) будут на прямых:

$$x = -1 \quad \text{и} \quad x = 1$$

График функции имеет две точки разрыва, которые можно определить по нулям знаменателя. Следовательно, график функции разорван в этих точках, и именно они указывают на вертикальные асимптоты.

Соответствует графику №2, так как только он имеет асимптоты при $x = \pm 1$, а график симметричен относительно оси $Oy$, так как $f(-x) = f(x)$, то есть функция чётная.

$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$

Рассмотрим выражение в знаменателе $x^2 + 1$.

Найдём, при каких значениях $x$ выражение не определено, то есть:

$$x^2 + 1 = 0$$

Решим уравнение:

$$x^2 = -1$$

Это уравнение не имеет действительных решений, поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, знаменатель никогда не обращается в ноль, и выражение определено при всех действительных значениях переменной $x$.

Функция $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не имеет разрывов, то есть её график не содержит вертикальных асимптот. Кроме того, функция чётная, так как:

$$g(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = g(x)$$

Соответствует графику №1, поскольку он не имеет асимптот и симметричен относительно оси $Oy$.

б) $f(x) = \frac{1}{x^2 — 2x + 2}$

Рассмотрим выражение в знаменателе $x^2 — 2x + 2$.

Найдём дискриминант квадратного выражения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$$

Дискриминант меньше нуля, значит квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, и, следовательно, выражение в знаменателе не обращается в ноль ни при каких значениях $x$.

Следовательно, функция $f(x)$ определена при всех значениях $x$, и её график не имеет вертикальных асимптот.

Кроме того, знаменатель всегда положителен:

$$x^2 — 2x + 2 = (x — 1)^2 + 1 > 0 \quad \text{при любом } x$$

Соответствует графику №1.

$g(x) = \frac{1}{x^2 — 2x + 1}$

Рассмотрим выражение в знаменателе:

$$x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2$$

Найдём, при каких значениях переменной выражение не определено:

$$(x — 1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Следовательно, функция $g(x)$ не определена при $x = 1$, и её график имеет вертикальную асимптоту в этой точке.

При всех остальных значениях $x$ функция определена. Так как выражение в знаменателе является квадратом, знак выражения в знаменателе всегда положителен при $x \neq 1$. Это означает, что график не меняет знака (функция положительна всюду, кроме разрыва).

Функция не является чётной, так как:

$$g(-x) = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \neq g(x)$$

Соответствует графику №2, так как он имеет вертикальную асимптоту при $x = 1$, и график расположен только в положительной области $y$.