ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 362 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:
а) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + z^2}$;

б) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + 1}$;

в) $\frac{\frac{1}{x + y} + z}{x^2 + y^2 + 1}$.

а) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + z^2}$;

Имеет смысл при:
$x^2 + y^2 + z^2 \neq 0$;

Так как $x^2 \geq 0$, $y^2 \geq 0$, $z^2 \geq 0$, сумма квадратов равна нулю только в случае:
$x = 0$, $y = 0$, $z = 0$;

Следовательно, выражение не имеет смысла только при $x = y = z = 0$;

Ответ: $x^2 + y^2 + z^2 \neq 0$, то есть $(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$.

б) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + 1}$;

Имеет смысл при:
$x^2 + y^2 + 1 \neq 0$;

Так как $x^2 \geq 0$, $y^2 \geq 0$, то $x^2 + y^2 + 1 > 0$ при любых значениях $x$ и $y$;

Ответ: определено при всех $x$ и $y$.

в) $\frac{\frac{1}{x + y} + z}{x^2 + y^2 + 1}$;

Имеет смысл при выполнении двух условий:

$x + y \neq 0$;

$x^2 + y^2 + 1 \neq 0$;

Первое условие: $x \neq -y$;
Второе условие выполняется всегда, так как $x^2 \geq 0$, $y^2 \geq 0$, значит $x^2 + y^2 + 1 > 0$;

Ответ: $x \neq -y$.

а) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + z^2}$;

Для того чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель не обращался в ноль, так как деление на ноль запрещено. Рассмотрим выражение в знаменателе:

$x^2 + y^2 + z^2$

Каждое из слагаемых в этом выражении — это квадрат действительного числа, а значит, каждое из них неотрицательно:

$x^2 \geq 0$, $y^2 \geq 0$, $z^2 \geq 0$

Сумма трех неотрицательных чисел равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при:

$x = 0$, $y = 0$, $z = 0$

Во всех остальных случаях знаменатель положителен, и выражение определено. Значит, область определения:

$x^2 + y^2 + z^2 \neq 0$

или эквивалентно:

$(x, y, z) \neq (0, 0, 0)$

Ответ: выражение определено при всех $x, y, z$, кроме $x = y = z = 0$.

б) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + 1}$;

Анализируем знаменатель:

$x^2 + y^2 + 1$

Здесь снова $x^2 \geq 0$, $y^2 \geq 0$, и прибавляется единица, которая строго положительна. Значит, независимо от значений переменных $x$ и $y$, выражение в знаменателе будет строго положительным:

$x^2 + y^2 + 1 > 0$

Таким образом, деления на ноль не будет ни при каких значениях переменных, и выражение определено всюду:

Ответ: выражение определено при любых $x$, $y$, $z$.

в) $\frac{\frac{1}{x + y} + z}{x^2 + y^2 + 1}$;

Здесь нужно учитывать сразу два условия, при которых выражение может быть неопределенным:

1) Во внутренней дроби $\frac{1}{x + y}$, числитель равен 1, а значит, выражение определено, только если знаменатель $x + y \neq 0$. Следовательно, первое ограничение:

$x + y \neq 0$, то есть $x \neq -y$

2) Знаменатель всей большой дроби — это $x^2 + y^2 + 1$, как и в предыдущем пункте. Он всегда положителен, так как $x^2 \geq 0$, $y^2 \geq 0$, и $1 > 0$. Значит:

$x^2 + y^2 + 1 > 0$

Никаких ограничений от второго выражения нет.

Итак, единственное ограничение на область определения:

$x \neq -y$

Ответ: выражение определено при всех $x, y, z$, кроме $x = -y$.