ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 360 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

а) $\frac{b}{b^3-1}-\frac{1}{b};$$\frac{}{}$

б) $\frac{3}{a^2-4}+\frac{a}{(a-1{)}^2};$$\frac{\mathrm{}}{}$

в) $\frac{x+3}{x^2-x-20}-\frac{3}{x^2-9};$$\frac{}{}$

г) $\frac{1}{2x^3+x}-\frac{1}{2x^2-x+1}\mathrm{.}$

а) $\frac{b}{b^3-1}-\frac{1}{b};$$\frac{}{}$

Имеет смысл при:

${\mathrm{1)\; b}}^3-1\mathrm{\ne }0$;
$b^3\mathrm{\ne }1$, отсюда $b\mathrm{\ne }1$;

$\mathrm{2)\; b}\mathrm{\ne }0$;

Ответ: $b\mathrm{\ne }0$ и $b\mathrm{\ne }1$.

б) $\frac{3}{a^2-4}+\frac{a}{(a-1{)}^2};$

Имеет смысл при:

${\mathrm{1)\; a}}^2-4\mathrm{\ne }0$;
$a^2\mathrm{\ne }4$, отсюда $a\mathrm{\ne }\pm 2$;

$2)\; (a-1{)}^2\mathrm{\ne }0$;
$a-1\mathrm{\ne }0$, отсюда $a\mathrm{\ne }1$;

Ответ: $a\mathrm{\ne }\pm 2$ и $a\mathrm{\ne }1$.

в) $\frac{x+3}{x^2-x-20}-\frac{3}{x^2-9};$$\frac{}{}$

Имеет смысл при:

${\mathrm{1)\; x}}^2-x-20\mathrm{\ne }0$;
$D=1^2+4\cdot 20=1+80=81$, тогда:
$x_1\mathrm{\ne }\frac{1-9}{2}=-4$, $x_2\mathrm{\ne }\frac{1+9}{2}=5$;

${\mathrm{2)\; x}}^2-9\mathrm{\ne }0$;
$x^2\mathrm{\ne }9$, отсюда $x\mathrm{\ne }\pm 3$;

Ответ: $x\mathrm{\ne }-4$, $x\mathrm{\ne }5$, $x\mathrm{\ne }\pm 3$.

г) $\frac{1}{2x^2+x}-\frac{1}{2x^2-x+1};$$\frac{\mathrm{}}{}$

Имеет смысл при:

$\mathrm{1)\; 2}{x}^2+x\mathrm{\ne }0$;
$x(2x+1)\mathrm{\ne }0$, тогда:
$x\mathrm{\ne }0$, $x\mathrm{\ne }-\frac{1}{2}$;

$\mathrm{2)\; 2}{x}^2-x+1\mathrm{\ne }0$;
$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7$;
$D<0$, действительных корней нет;

Ответ: $x\mathrm{\ne }0$, $x\mathrm{\ne }-\frac{1}{2}$.

а) $\frac{b}{b^3-1}-\frac{1}{b}$

Область определения выражения — это множество всех значений переменной $b$, при которых ни один из знаменателей не обращается в ноль.

Проверим условия существования выражения:

1) В первом слагаемом знаменатель: $b^3-1\mathrm{\ne }0$.
Решим уравнение $b^3-1=0$:
$b^3=1\Rightarrow b=1$.
Значит, исключаем $b=1$.

2) Во втором слагаемом знаменатель: $b\mathrm{\ne }0$.
Значит, исключаем также $b=0$.

Объединяя оба условия, получаем:
$b\mathrm{\ne }0$ и $b\mathrm{\ne }1$

Ответ: $b\in \mathbb{R}\setminus \{0;1\}$

б) $\frac{3}{a^2-4}+\frac{a}{(a-1{)}^2}$

Определим область допустимых значений:

1) В первом слагаемом знаменатель: $a^2-4\mathrm{\ne }0$.
Это равносильно:
$a^2\mathrm{\ne }4\Rightarrow a\mathrm{\ne }\pm 2$

2) Во втором слагаемом знаменатель: $(a-1{)}^2\mathrm{\ne }0\Rightarrow a-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow a\mathrm{\ne }1$

Объединяя все ограничения:
$a\mathrm{\ne }-2$, $a\mathrm{\ne }2$, $a\mathrm{\ne }1$

Ответ: $a\in \mathbb{R}\setminus \{-2;1;2\}$

в) $\frac{x+3}{x^2-x-20}-\frac{3}{x^2-9}$

Определим область определения выражения, исключая все значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль:

1) Первый знаменатель:
$x^2-x-20\mathrm{\ne }0$
Решим квадратное уравнение:
$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-20)=1+80=81$
$x=\frac{1\pm \sqrt{81}}{2}=\frac{1\pm 9}{2}\Rightarrow x_1=-4,x_2=5$

Итак, $x\mathrm{\ne }-4$, $x\mathrm{\ne }5$

2) Второй знаменатель:
$x^2-9\mathrm{\ne }0\Rightarrow x^2\mathrm{\ne }9\Rightarrow x\mathrm{\ne }\pm 3$

Ответ: $x\in \mathbb{R}\setminus \{-4;-3;3;5\}$

г) $\frac{1}{2x^2+x}-\frac{1}{2x^2-x+1}$

Разберем условия существования выражения:

1) Первый знаменатель:
$2x^2+x\mathrm{\ne }0$
Вынесем $x$ за скобку:
$x(2x+1)\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }0$, $2x+1\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-\frac{1}{2}$

2) Второй знаменатель:
$2x^2-x+1\mathrm{\ne }0$
Рассмотрим дискриминант:
$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0$
Корней нет, значит выражение определено при всех $x$, кроме тех, что уже исключены.

Ответ: $x\in \mathbb{R}\setminus \{0;-\frac{1}{2}\}$