ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 359 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех значениях переменных: а

а) значение выражения
$(a — b)^2 + (a + b)^2 — (a — b)(a + b)$
является числом неотрицательным;

б) значение выражения
$(x + 2)(x — 2) — (2x — l)(2x + l) + 3$
является числом неположительным.

а) ($(a — b)^2 + (a + b)^2 — (a — b)(a + b) > 0;$
$(a^2 — 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) — (a^2 — b^2) > 0;$
$a^2 — 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + b^2 > 0;$
$a^2 + 3b^2 > 0;$
Неравенство выполняется при любых значениях $a$ и $b$;

б) ($(x + 2)(x — 2) — (2x — 1)(2x + 1) + 3 < 0;$
$(x^2 — 4) — (4x^2 — 1) + 3 < 0;$
$x^2 — 4 — 4x^2 + 1 + 3 < 0;$
$-3x^2 < 0;$
Неравенство выполняется при любых значениях $x$;

а) $(a — b)^2 + (a + b)^2 — (a — b)(a + b) > 0$

Распишем каждый элемент по формуле:
$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$ — по формуле разности квадратов

Подставим всё в исходное выражение:
$(a^2 — 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) — (a^2 — b^2)$

Сгруппируем и упростим:
$a^2 — 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + b^2$

Сначала сложим подобные:

• $a^2 + a^2 — a^2 = a^2$
• $-2ab + 2ab = 0$
• $b^2 + b^2 + b^2 = 3b^2$

Итог:
$a^2 + 3b^2$

Выражение $a^2 + 3b^2$ всегда неотрицательно, так как сумма квадратов неотрицательных величин (при любом $a$, $b$).

Причем:

• $a^2 \geq 0$ для всех $a$
• $b^2 \geq 0$ для всех $b$, значит $3b^2 \geq 0$

И потому $a^2 + 3b^2 \geq 0$, причем строгое неравенство выполняется при любом $(a, b) \neq (0, 0)$

Следовательно, выражение всегда положительно или равно нулю, то есть является неотрицательным.

б) $(x + 2)(x — 2) — (2x — 1)(2x + 1) + 3 < 0$

Сначала раскроем скобки:
$(x + 2)(x — 2) = x^2 — 4$ — по формуле разности квадратов
$(2x — 1)(2x + 1) = 4x^2 — 1$ — также по формуле разности квадратов

Подставим:
$x^2 — 4 — (4x^2 — 1) + 3$

Раскроем скобки с минусом:
$x^2 — 4 — 4x^2 + 1 + 3$

Сгруппируем подобные:

• $x^2 — 4x^2 = -3x^2$
• $-4 + 1 + 3 = 0$

Итоговое выражение:
$-3x^2$

Теперь рассмотрим знак выражения $-3x^2$

Для всех $x \neq 0$, квадрат $x^2 > 0$, а значит $-3x^2 < 0$

Для $x = 0$:
$-3 \cdot 0^2 = 0$

Следовательно:
$-3x^2 \leq 0$ при любом $x$

Вывод: выражение всегда неположительно.