ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 358 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения:

а)$(x-y-\frac{x^2-y^2}{y})\cdot \frac{y}{xy-x^2}\text{ равно }1;$$\left( x — y — \frac{x^2 — y^2}{y} \right) \cdot \frac{y}{xy — x^2} \text{ равно } 1;$

б)$(\frac{1}{a-1}-\frac{2}{a^2-1})\cdot \frac{a+1}{2}\text{ равно }\mathrm{0,5};$$\left( \frac{1}{a — 1} — \frac{2}{a^2 — 1} \right) \cdot \frac{a + 1}{2} \text{ равно } 0{,}5;$

в)$\frac{b+c}{b-c}-\frac{b^2+c^2}{b^2-c^2}+\frac{2bc}{c^2-b^2}\text{ равно }0;$$\frac{b + c}{b — c} — \frac{b^2 + c^2}{b^2 — c^2} + \frac{2bc}{c^2 — b^2} \text{ равно } 0;$

г)$\frac{1-m}{m}\cdot \frac{m^2}{m^2-1}+\frac{m^2-m}{m^2-1}\text{ равно }0.$
$\frac{1 — m}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 — 1} + \frac{m^2 — m}{m^2 — 1} \text{ равно } 0.$

а)$\left( x — y — \frac{x^2 — y^2}{y} \right) \cdot \frac{y}{xy — x^2} = 1;$
$\frac{xy — y^2 — (x^2 — y^2)}{y} \cdot \frac{y}{xy — x^2} = 1;$
$\frac{xy — y^2 — x^2 + y^2}{xy — x^2} = 1;$
$\frac{xy — x^2}{xy — x^2} = 1;$
$1 = 1;$
Тождество доказано.
$$

б)$\left( \frac{1}{a — 1} — \frac{2}{a^2 — 1} \right) \cdot \frac{a + 1}{2} = 0{,}5;$
$\left( \frac{1}{a — 1} — \frac{2}{(a — 1)(a + 1)} \right) \cdot \frac{a + 1}{2} = 0{,}5;$
$\frac{a + 1 — 2}{(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{a + 1}{2} = 0{,}5;$
$\frac{a — 1}{(a — 1)(a + 1)} \cdot \frac{a + 1}{2} = 0{,}5;$
$\frac{1}{2} = 0{,}5;$
Тождество доказано.

в)$\frac{b + c}{b — c} — \frac{b^2 + c^2}{b^2 — c^2} + \frac{2bc}{c^2 — b^2} = 0;$
$\frac{b + c}{b — c} — \frac{b^2 + c^2}{(b — c)(b + c)} — \frac{2bc}{(b — c)(b + c)} = 0;$
$\frac{(b + c)^2 — (b^2 + c^2) — 2bc}{(b — c)(b + c)} = 0;$
$\frac{b^2 + 2bc + c^2 — b^2 — c^2 — 2bc}{(b — c)(b + c)} = 0;$
$\frac{0}{(b — c)(b + c)} = 0;$
$0 = 0;$
Тождество доказано.

г)$\frac{1 — m}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 — 1} + \frac{m^2 — m}{m^2 — 1} = 0;$
$-\frac{m — 1}{m} \cdot \frac{m^2}{(m — 1)(m + 1)} + \frac{m(m — 1)}{(m — 1)(m + 1)} = 0;$
$-\frac{m}{m + 1} + \frac{m}{m + 1} = 0;$
$0 = 0;$
Тождество доказано.

а) $\left( x — y — \frac{x^2 — y^2}{y} \right) \cdot \frac{y}{xy — x^2} = 1$

Начнем с преобразования скобки $x — y — \frac{x^2 — y^2}{y}$.
Разность квадратов $x^2 — y^2$ раскладывается как $(x — y)(x + y)$. Тогда:
$x — y — \frac{x^2 — y^2}{y} = x — y — \frac{(x — y)(x + y)}{y}$.
Приведём всё к одному знаменателю $y$:
$x — y = \frac{xy — y^2}{y}$. Следовательно:
$x — y — \frac{x^2 — y^2}{y} = \frac{xy — y^2}{y} — \frac{x^2 — y^2}{y} = \frac{xy — y^2 — x^2 + y^2}{y} = \frac{xy — x^2}{y}$.

Теперь подставим это в исходное выражение:
$\left( \frac{xy — x^2}{y} \right) \cdot \frac{y}{xy — x^2}$.
Сократим $xy — x^2$ и $y$, получим:
$\frac{xy — x^2}{y} \cdot \frac{y}{xy — x^2} = 1$.
Таким образом, равенство $1 = 1$ выполняется. Тождество доказано.

б) $\left( \frac{1}{a — 1} — \frac{2}{a^2 — 1} \right) \cdot \frac{a + 1}{2} = 0,5$

Заметим, что $a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)$. Тогда:
$\frac{1}{a — 1} — \frac{2}{a^2 — 1} = \frac{1}{a — 1} — \frac{2}{(a — 1)(a + 1)}$.
Приведём к общему знаменателю $(a — 1)(a + 1)$:
$\frac{1}{a — 1} = \frac{a + 1}{(a — 1)(a + 1)}$, значит:
$\frac{1}{a — 1} — \frac{2}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{a + 1 — 2}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{a — 1}{(a — 1)(a + 1)}$.
Сократим $a — 1$:
$\frac{a — 1}{(a — 1)(a + 1)} = \frac{1}{a + 1}$.
Подставим в исходное выражение:
$\frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Равенство доказано.

в) $\frac{b + c}{b — c} — \frac{b^2 + c^2}{b^2 — c^2} + \frac{2bc}{c^2 — b^2} = 0$

Заметим, что $b^2 — c^2 = (b — c)(b + c)$, а $c^2 — b^2 = -(b^2 — c^2)$.
Перепишем выражение:
$\frac{b + c}{b — c} — \frac{b^2 + c^2}{(b — c)(b + c)} + \frac{2bc}{-(b — c)(b + c)} = \frac{b + c}{b — c} — \frac{b^2 + c^2}{(b — c)(b + c)} — \frac{2bc}{(b — c)(b + c)}$.

Приведём к общему знаменателю $(b — c)(b + c)$:
$\frac{b + c}{b — c} = \frac{(b + c)(b + c)}{(b — c)(b + c)} = \frac{(b + c)^2}{(b — c)(b + c)}$.

Тогда получаем:
$\frac{(b + c)^2 — (b^2 + c^2) — 2bc}{(b — c)(b + c)}$.

Раскроем скобки:
$(b + c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$.
Подставляем:
$b^2 + 2bc + c^2 — (b^2 + c^2) — 2bc = b^2 + 2bc + c^2 — b^2 — c^2 — 2bc = 0$.
Таким образом:
$\frac{0}{(b — c)(b + c)} = 0$, что даёт $0 = 0$. Тождество доказано.

г) $\frac{1 — m}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 — 1} + \frac{m^2 — m}{m^2 — 1} = 0$

Сначала разложим $m^2 — 1 = (m — 1)(m + 1)$.
Преобразуем первую дробь:
$\frac{1 — m}{m} = -\frac{m — 1}{m}$, тогда:
$-\frac{m — 1}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 — 1} = -\frac{m — 1}{m} \cdot \frac{m^2}{(m — 1)(m + 1)}$.
Сократим $m — 1$:
$-\frac{m^2}{m(m + 1)} = -\frac{m}{m + 1}$.

Вторая дробь:
$\frac{m^2 — m}{m^2 — 1} = \frac{m(m — 1)}{(m — 1)(m + 1)} = \frac{m}{m + 1}$.

Сложим:
$-\frac{m}{m + 1} + \frac{m}{m + 1} = 0$.
Следовательно, $0 = 0$. Тождество доказано.