ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 356 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

1) Докажите, что выражения
$(x + 1)^2(x — 1)^2$, $(x^2 + 2x + 1)(x^2 — 2x + 1)$,
$(x^2 — 1)^2$ и $x^4 — 2x^2 + 1$
тождественно равны.

2) Какое из выражений
$(x — 3)^2(x + 3)^2$, $(x — 3)^2(x + 3)$,
$(3 + x)(3 — x)^2$, $(x^2 — 9)(x — 3)$
является «лишним»?

1)  $(x + 1)^2(x — 1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 — 2x + 1);$
$(x + 1)^2(x — 1)^2 = \left( (x + 1)(x — 1) \right)^2 = (x^2 — 1)^2;$
$(x^2 — 1)^2 = x^4 — 2x^2 + 1;$
Тождество всех четырех выражений доказано.

$(x — 3)^2(x + 3) = (|x — 3|)^2(x + 3) = (|3 — x|)^2(x + 3) = (3 — x)^2(x + 3);$
$(x — 3)^2(x + 3) = (x — 3)(x — 3)(x + 3) = (x — 3)(x^2 — 9);$
Все выражения, кроме $(x — 3)^2(x + 3)^2$, тождественно равны;

Ответ: $(x — 3)^2(x + 3)^2$.

$(x + 1)^2(x — 1)^2$

Сначала используем формулу квадрата произведения:
$(x + 1)^2(x — 1)^2 = \left( (x + 1)(x — 1) \right)^2$

По формуле разности квадратов:
$(x + 1)(x — 1) = x^2 — 1$, тогда
$\left( (x + 1)(x — 1) \right)^2 = (x^2 — 1)^2$

Теперь раскроем квадрат:
$(x^2 — 1)^2 = x^4 — 2x^2 + 1$, по формуле $(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2$

Промежуточный результат:
$(x + 1)^2(x — 1)^2 = (x^2 — 1)^2 = x^4 — 2x^2 + 1$

Теперь рассмотрим второе выражение:
$(x^2 + 2x + 1)(x^2 — 2x + 1)$

Это произведение двух квадратов:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$,
$x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2$

Следовательно:
$(x^2 + 2x + 1)(x^2 — 2x + 1) = (x + 1)^2(x — 1)^2$

А значит:
$(x + 1)^2(x — 1)^2 = (x^2 + 2x + 1)(x^2 — 2x + 1) = (x^2 — 1)^2 = x^4 — 2x^2 + 1$

Следовательно, все четыре выражения:
$(x + 1)^2(x — 1)^2$,
$(x^2 + 2x + 1)(x^2 — 2x + 1)$,
$(x^2 — 1)^2$,
$x^4 — 2x^2 + 1$
тождественно равны друг другу.

2) Рассмотрим все выражения:

Первое:
$(x — 3)^2(x + 3)^2 = \left( (x — 3)(x + 3) \right)^2 = (x^2 — 9)^2$ — полный квадрат

Второе:
$(x — 3)^2(x + 3) = (x — 3)(x — 3)(x + 3)$

Сначала перемножим $(x — 3)(x + 3)$:
$(x — 3)(x + 3) = x^2 — 9$, тогда
$(x — 3)^2(x + 3) = (x — 3)(x^2 — 9)$

Третье:
$(3 + x)(3 — x)^2$

Запишем как:
$(x + 3)(3 — x)^2$. Переставим скобки:
$(x + 3)(-(x — 3))^2 = (x + 3)(x — 3)^2$, т.к. знак минус в квадрате исчезает.

Значит:
$(3 + x)(3 — x)^2 = (x — 3)^2(x + 3)$

Четвёртое:
$(x^2 — 9)(x — 3)$.
Здесь:
$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$, тогда
$(x^2 — 9)(x — 3) = (x — 3)(x + 3)(x — 3) = (x — 3)^2(x + 3)$

Следовательно:
второе, третье и четвёртое выражения равны между собой:
$(x — 3)^2(x + 3)$

А первое выражение:
$(x — 3)^2(x + 3)^2$
является квадратом общего выражения и, соответственно, не равно остальным.

Ответ: $(x — 3)^2(x + 3)^2$ — лишнее.