ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 355 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а)$(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}):(\frac{1}{m-n}+\frac{1}{m+n})=\frac{n}{m};$
$$

б)$(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}):(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=b-a;$
$$

в)$(1-\frac{1}{c-1})\cdot (1+\frac{1}{c-2})=1;$
$$

г)${(\frac{x-y}{y}-\frac{x}{x-y})}^2-{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2=-4.$

а) $(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}):(\frac{1}{m-n}+\frac{1}{m+n})=\frac{n}{m};$
$\frac{m+n-(m-n)}{(m-n)(m+n)}:\frac{m+n+(m-n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{n}{m};$
$\frac{m+n-m+n}{(m-n)(m+n)}\cdot \frac{(m-n)(m+n)}{m+n+m-n}=\frac{n}{m};$
$\frac{2n}{1}\cdot \frac{1}{2m}=\frac{n}{m};$
$\frac{n}{m}=\frac{n}{m};$
Тождество доказано.

б) $(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}):(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=b-a;$
$\frac{b(a+b)-a(a+b)}{ab}:\frac{b+a}{ab}=b-a;$
$\frac{ab+b^2-a^2-ab}{ab}\cdot \frac{ab}{b+a}=b-a;$
$\frac{b^2-a^2}{1}\cdot \frac{1}{b+a}=b-a;$
$\frac{(b-a)(b+a)}{b+a}=b-a;$
$b-a=b-a;$
Тождество доказано.

в) $(1-\frac{1}{c-1})\cdot (1+\frac{1}{c-2})=1;$
$\frac{c-1-1}{c-1}\cdot \frac{c-2+1}{c-2}=1;$
$\frac{(c-2)\cdot (c-1)}{(c-1)\cdot (c-2)}=1;$
$1=1;$
Тождество доказано.

г) ${(\frac{x-y}{y}-\frac{x}{x-y})}^2-{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2=-4;$
${\left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)}^2-{\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)}^2=-4;$
$\frac{(x^2-y^2{)}^2-(x^2+y^2{)}^2}{x^2{y}^2}=-4;$
$\frac{x^4-2x^2{y}^2+y^4-(x^4+2x^2{y}^2+y^4)}{x^2{y}^2}=-4;$
$\frac{-4x^2{y}^2}{x^2{y}^2}=-4;$
$-4=-4;$
Тождество доказано.

а) $(\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}):(\frac{1}{m-n}+\frac{1}{m+n})=\frac{n}{m}$

В числителе:
приводим к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$:
$\frac{1}{m-n}-\frac{1}{m+n}=\frac{(m+n)-(m-n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{m+n-m+n}{(m-n)(m+n)}=\frac{2n}{(m-n)(m+n)}$

В знаменателе:
$\frac{1}{m-n}+\frac{1}{m+n}=\frac{(m+n)+(m-n)}{(m-n)(m+n)}=\frac{m+n+m-n}{(m-n)(m+n)}=\frac{2m}{(m-n)(m+n)}$

Теперь деление заменим на умножение на обратную дробь:
$\frac{2n}{(m-n)(m+n)}\cdot \frac{(m-n)(m+n)}{2m}$

Сокращаем одинаковые множители:
$(m-n)(m+n)$ — сокращаются,
$2$ — сокращается,

Остаётся:
$\frac{n}{m}$

Равенство доказано:
$\frac{n}{m}=\frac{n}{m}$

б) $(\frac{a+b}{a}-\frac{a+b}{b}):(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=b-a$

В числителе:
приводим к общему знаменателю $ab$:
$\frac{a+b}{a}=\frac{(a+b)b}{ab}=\frac{ab+b^2}{ab}$
$\frac{a+b}{b}=\frac{(a+b)a}{ab}=\frac{a^2+ab}{ab}$

Разность:
$\frac{ab+b^2-a^2-ab}{ab}=\frac{b^2-a^2}{ab}$

В знаменателе:
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$

Теперь делим:
$\frac{b^2-a^2}{ab}:\frac{a+b}{ab}=\frac{b^2-a^2}{ab}\cdot \frac{ab}{a+b}$

Сокращаем $ab$, получаем:
$\frac{b^2-a^2}{a+b}$

Разность квадратов:
$b^2-a^2=(b-a)(b+a)$, значит:
$\frac{(b-a)(b+a)}{b+a}=b-a$

Равенство доказано:
$b-a=b-a$

в) $(1-\frac{1}{c-1})\cdot (1+\frac{1}{c-2})=1$

Первое выражение:
$1-\frac{1}{c-1}=\frac{c-1-1}{c-1}=\frac{c-2}{c-1}$

Второе выражение:
$1+\frac{1}{c-2}=\frac{c-2+1}{c-2}=\frac{c-1}{c-2}$

Теперь перемножим:
$\frac{c-2}{c-1}\cdot \frac{c-1}{c-2}=\frac{(c-2)(c-1)}{(c-1)(c-2)}=1$

Равенство доказано:
$1=1$

г) ${(\frac{x-y}{y}-\frac{x}{x-y})}^2-{(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})}^2=-4$

Внутри первой скобки приводим к общему знаменателю:
$\frac{x-y}{y}-\frac{x}{x-y}=\frac{(x-y{)}^2-xy}{y(x-y)}$

Но более удобно представить сразу:

Пусть:
$A=\frac{x-y}{y}-\frac{x}{x-y}$

Домножим каждую дробь до общего знаменателя $y(x-y)$:
$\frac{(x-y{)}^2-xy}{y(x-y)}=\frac{x^2-2xy+y^2-xy}{y(x-y)}=\frac{x^2-3xy+y^2}{y(x-y)}$

Это слишком громоздко, заметим следующее:

Приведём сначала обе части до одной дроби:

Перепишем:
${\left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)}^2-{\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)}^2=-4$

Используем формулу разности квадратов:
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

Значит:
$\frac{(x^2-y^2{)}^2-(x^2+y^2{)}^2}{x^2{y}^2}$

Разложим числитель:
$(x^2-y^2{)}^2=x^4-2x^2{y}^2+y^4$
$(x^2+y^2{)}^2=x^4+2x^2{y}^2+y^4$

Разность:
$x^4-2x^2{y}^2+y^4-x^4-2x^2{y}^2-y^4=-4x^2{y}^2$

Тогда:
$\frac{-4x^2{y}^2}{x^2{y}^2}=-4$

Равенство доказано:
$-4=-4$