ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 354 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Докажите тождество
а) $(x — y)^2 + (x + y)^2 — 2(x — y)(x + y) = 4y^2$;

б) $2(x + y)(x — y) + (x + y)^2 + (x — y)^2 = 4x^2$.

$(x — y)^2 + (x + y)^2 — 2 \cdot (x — y)(x + y) = 4y^2;$
$((x — y) — (x + y))^2 = 4y^2;$
$(x — y — x — y)^2 = 4y^2;$
$(-2y)^2 = 4y^2;$
$4y^2 = 4y^2;$
Тождество доказано.

$2 \cdot (x + y)(x — y) + (x + y)^2 + (x — y)^2 = 4x^2;$
$((x + y) + (x — y))^2 = 4x^2;$
$(x + y + x — y)^2 = 4x^2;$
$(2x)^2 = 4x^2;$
$4x^2 = 4x^2;$
Тождество доказано.

$(x — y)^2 + (x + y)^2 — 2(x — y)(x + y) = 4y^2$

Распишем каждый квадрат по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2$
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

Тогда:

$(x — y)^2 + (x + y)^2 = x^2 — 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2$

Теперь вычислим произведение:

$(x — y)(x + y) = x^2 — y^2$

Умножим его на 2:

$2(x — y)(x + y) = 2(x^2 — y^2)$

Теперь подставим всё в выражение:

$2x^2 + 2y^2 — 2(x^2 — y^2) = 2x^2 + 2y^2 — 2x^2 + 2y^2 = 4y^2$

Левая часть равна правой части $4y^2$, значит:

$4y^2 = 4y^2$

Тождество доказано.

$2(x + y)(x — y) + (x + y)^2 + (x — y)^2 = 4x^2$

Распишем по формулам:

$(x + y)(x — y) = x^2 — y^2$, тогда
$2(x + y)(x — y) = 2(x^2 — y^2) = 2x^2 — 2y^2$

Распишем квадраты:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
$(x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2$

Сложим их:

$(x + y)^2 + (x — y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 — 2xy + y^2) = 2x^2 + 2y^2$

Теперь подставим всё:

$2x^2 — 2y^2 + 2x^2 + 2y^2 = (2x^2 + 2x^2) + (-2y^2 + 2y^2) = 4x^2 + 0 = 4x^2$

Левая часть равна правой части $4x^2$, следовательно:

$4x^2 = 4x^2$

Тождество доказано.