ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 353 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных (если оно имеет смысл):

а) $\frac{a^2 + 4}{a^2 — 4} — \frac{a}{a + 2}$ при $a = \frac{2}{3}$; $-4$; $2$;

б) $\frac{c^2 — 25}{10c} \cdot \frac{c}{c — 5}$ при $c = 2{,}5$; $0$; $-37$;

в) $\frac{m}{m — n} \cdot \left( \frac{m — n}{m} — 1 \right)$ при $m = \frac{1}{4}$ и $n = \frac{1}{2}$; $m = -15$ и $n = -18$; $m = 0$ и $n = 10$; $m = 10$ и $n = 0$;

г) $\left( \frac{x — y}{y} — \frac{x}{x — y} \right) \cdot \frac{xy}{x — y}$ при $x = 12$ и $y = -15$; $x = -\frac{2}{3}$ и $y = \frac{5}{6}$; $x = 0$ и $y = 22$; $x = 5$ и $y = 5$.

а)$$\frac{a^2 + 4}{a^2 — 4} — \frac{a}{a + 2} = \frac{a^2 + 4 — a(a — 2)}{(a — 2)(a + 2)} — \frac{a^2 + 4 — a^2 + 2a}{(a — 2)(a + 2)} =$$ $$= \frac{2a + 4}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{2(a + 2)}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{2}{a — 2};$$

Имеет смысл при:
$a^2 — 4 \neq 0 \implies a^2 \neq 4$, отсюда $a \neq \pm 2$;
$a + 2 \neq 0$, отсюда $a \neq -2$;

Значения выражения:

1) При $a = \frac{2}{3}$:

$$\frac{2}{\frac{2}{3} — 2} = 2 : \left( \frac{2 — 6}{3} \right) = 2 : \left( -\frac{4}{3} \right) = 2 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) = -\frac{6}{4} = -1,5;$$

2) При $a = -4$:

$$\frac{2}{-4 — 2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3};$$

3) При $a = 2$ — не имеет смысла;

б)

$$\frac{c^2 — 25}{10c} \cdot \frac{c}{c — 5} = \frac{(c — 5)(c + 5)}{10c} \cdot \frac{c}{c — 5} = \frac{c + 5}{10};$$

Имеет смысл при:
$10c \neq 0$, отсюда $c \neq 0$;
$c — 5 \neq 0$, отсюда $c \neq 5$;

Значения выражения:

1) При $c = 2,5$:

$$\frac{2,5 + 5}{10} = \frac{7,5}{10} = 0,75;$$

2) При $c = 0$ — не имеет смысла;

3) При $c = -37$:

$$\frac{-37 + 5}{10} = \frac{-32}{10} = -3,2;$$

в)

$$\frac{m}{m — n} \cdot \left( \frac{m — n}{m} — 1 \right) = \frac{m}{m — n} \cdot \frac{m — n — m}{m} = \frac{-n}{m — n} = \frac{n}{n — m};$$

Имеет смысл при:
$m — n \neq 0$, отсюда $m \neq n$;
$m \neq 0$;

Значения выражения:

1) При $m = \frac{1}{4}$ и $n = \frac{1}{2}$:

$$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} — \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2;$$

2) При $m = -15$ и $n = -18$:

$$\frac{-18}{-18 — (-15)} = \frac{-18}{-3} = 6;$$

3) При $m = 0$ и $n = 10$ — не имеет смысла;

4) При $m = 10$ и $n = 0$:

$$\frac{0}{0 — 10} = -\frac{0}{10} = 0;$$

г)

$$\left( \frac{x — y}{y} — \frac{x}{x — y} \right) \cdot \frac{xy}{x — y} = \frac{x^2 — y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{x — y} = \frac{(x — y)(x + y)}{x — y} = x + y \quad (x \neq 0, \, y \neq 0 \text{ и } x \neq y);$$

Имеет смысл при:
$y \neq 0$;
$x \neq 0$;
$x — y \neq 0$, отсюда $x \neq y$;

Значения выражения:

1) При $x = 12$ и $y = -15$:

$$12 + (-15) = 12 — 15 = -3;$$

2) При $x = -\frac{2}{3}$ и $y = \frac{5}{6}$:

$$-\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{-4 + 5}{6} = \frac{1}{6};$$

3) При $x = 0$ и $y = 22$ — не имеет смысла;

4) При $x = y = 5$ — не имеет смысла;$\boxed{-1,5; -\frac{1}{3}; 0{,}75; -3{,}2; 2; 6; 0; -3; \frac{1}{6}}$

а) Выполним упрощение выражения:
$\frac{a^2 + 4}{a^2 — 4} — \frac{a}{a + 2}$

Разложим знаменатель первой дроби:
так как $a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)$, то перепишем с общим знаменателем:
числитель преобразуем:
$a^2 + 4 — a(a — 2) = a^2 + 4 — a^2 + 2a = 2a + 4$

Таким образом:
$\frac{a^2 + 4 — a(a — 2)}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{2a + 4}{(a — 2)(a + 2)}$

Далее:
$\frac{2a + 4}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{2(a + 2)}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{2}{a — 2}$

Ограничения:
знаменатель не должен обращаться в ноль:
$a^2 — 4 \neq 0 \Rightarrow a^2 \neq 4 \Rightarrow a \neq \pm 2$
вторая дробь: $a + 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -2$
в совокупности: $a \neq \pm 2$

Значения:

При $a = \frac{2}{3}$:
$a — 2 = \frac{2}{3} — 2 = \frac{2 — 6}{3} = -\frac{4}{3}$
$\frac{2}{a — 2} = \frac{2}{-\frac{4}{3}} = 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{4} = -1{,}5$

При $a = -4$:
$a — 2 = -4 — 2 = -6$
$\frac{2}{a — 2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$

При $a = 2$:
$a^2 — 4 = 4 — 4 = 0 \Rightarrow$ выражение не имеет смысла

б) Преобразуем выражение:
$\frac{c^2 — 25}{10c} \cdot \frac{c}{c — 5}$

Числитель первой дроби: разность квадратов:
$c^2 — 25 = (c — 5)(c + 5)$

Тогда:
$\frac{(c — 5)(c + 5)}{10c} \cdot \frac{c}{c — 5}$

Сокращаем множители $c — 5$ и $c$:
$\frac{(c + 5)}{10}$

Ограничения:
$10c \neq 0 \Rightarrow c \neq 0$
$c — 5 \neq 0 \Rightarrow c \neq 5$

Значения:

При $c = 2{,}5$:
$\frac{2{,}5 + 5}{10} = \frac{7{,}5}{10} = 0{,}75$

При $c = 0$: знаменатель первой дроби обнуляется ⇒ выражение не имеет смысла

При $c = -37$:
$\frac{-37 + 5}{10} = \frac{-32}{10} = -3{,}2$

в) Упростим:
$\frac{m}{m — n} \cdot \left( \frac{m — n}{m} — 1 \right)$

Раскроем скобки:
$\frac{m — n}{m} — 1 = \frac{m — n — m}{m} = \frac{-n}{m}$

Тогда всё выражение:
$\frac{m}{m — n} \cdot \frac{-n}{m} = \frac{-n}{m — n}$

Так как числитель содержит минус, можно записать:
$\frac{-n}{m — n} = \frac{n}{n — m}$

Ограничения:
$m — n \neq 0 \Rightarrow m \neq n$
$m \neq 0$

Значения:

При $m = \frac{1}{4}$, $n = \frac{1}{2}$:
$n — m = \frac{1}{2} — \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$
$\frac{n}{n — m} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

При $m = -15$, $n = -18$:
$n — m = -18 + 15 = -3$
$\frac{n}{n — m} = \frac{-18}{-3} = 6$

При $m = 0$, $n = 10$:
деление на ноль ⇒ выражение не имеет смысла

При $m = 10$, $n = 0$:
$n — m = -10$
$\frac{n}{n — m} = \frac{0}{-10} = 0$

г) Преобразуем:
$\left( \frac{x — y}{y} — \frac{x}{x — y} \right) \cdot \frac{xy}{x — y}$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:
$\frac{(x — y)^2 — xy}{y(x — y)}$

Но проще перейти к результату по разности дробей:

$\frac{x — y}{y} — \frac{x}{x — y} = \frac{(x — y)^2 — xy}{y(x — y)}$, затем умножается на $\frac{xy}{x — y}$

Общий результат:
$\frac{x^2 — y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{x — y} = \frac{(x — y)(x + y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x — y}$

Сокращаем $x — y$ и $xy$:
$x + y$

Ограничения:
$y \neq 0$
$x \neq 0$
$x \neq y$

Значения:

При $x = 12$, $y = -15$:
$x + y = 12 + (-15) = -3$

При $x = -\frac{2}{3}$, $y = \frac{5}{6}$:
$x + y = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{-4 + 5}{6} = \frac{1}{6}$

При $x = 0$, $y = 22$:
деление на ноль ⇒ выражение не имеет смысла

При $x = 5$, $y = 5$:
$x — y = 0$ ⇒ деление на ноль ⇒ выражение не имеет смысла

Ответ:
$\boxed{-1{,}5;\ -\frac{1}{3};\ 0{,}75;\ -3{,}2;\ 2;\ 6;\ 0;\ -3;\ \frac{1}{6}}$