ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 352 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

а) $\frac{6}{x^2 + x — 2} + \frac{2}{x + 2}$;

б) $\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 4y + 3}$.

а)

$$\frac{6}{x^2+x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{6}{x^2+2x-x-2}+\frac{2}{x+2}=$$

$$\frac{6}{x^2 + x — 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{6}{x^2 + 2x — x — 2} + \frac{2}{x + 2} =$$ $$=\frac{6}{x(x+2)-1(x+2)}+\frac{2}{x+2}=\frac{6}{(x+2)(x-1)}+\frac{2(x-1)}{(x+2)(x-1)}=$$

$$= \frac{6}{x(x + 2) — 1(x + 2)} + \frac{2}{x + 2} = \frac{6}{(x + 2)(x — 1)} + \frac{2(x — 1)}{(x + 2)(x — 1)} =$$ $$= \frac{6 + 2x — 2}{(x + 2)(x — 1)} = \frac{2x + 4}{(x + 2)(x — 1)} = \frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x — 1)} = \frac{2}{x — 1};$$

б)

$$\frac{1}{y+3}+\frac{2}{y^2+4y+3}=\frac{1}{y+3}+\frac{2}{y^2+3y+y+3}=$$

$$\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 4y + 3} = \frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 3y + y + 3} =$$ $$=\frac{1}{y+3}+\frac{2}{y(y+3)+1\cdot (y+3)}=\frac{1}{y+3}+\frac{2}{(y+3)(y+1)}=$$

$$= \frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y(y + 3) + 1 \cdot (y + 3)} = \frac{1}{y + 3} + \frac{2}{(y + 3)(y + 1)} =$$ $$= \frac{(y + 1) + 2}{(y + 3)(y + 1)} = \frac{y + 3}{(y + 3)(y + 1)} = \frac{1}{y + 1};$$

а) $\frac{6}{x^2 + x — 2} + \frac{2}{x + 2}$

Разложим знаменатель первой дроби $x^2 + x — 2$ на множители. Это квадратный трёхчлен, и его можно разложить с помощью подбора или через дискриминант.
Найдём корни уравнения $x^2 + x — 2 = 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$
Корни:
$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$, $x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
Значит,
$x^2 + x — 2 = (x + 2)(x — 1)$

Теперь исходное выражение запишем с учётом разложения:

$$\frac{6}{(x + 2)(x — 1)} + \frac{2}{x + 2}$$

Вторая дробь имеет знаменатель $x + 2$, нужно привести к общему знаменателю $(x + 2)(x — 1)$.
Домножим числитель и знаменатель второй дроби на $x — 1$:

$$\frac{2}{x + 2} = \frac{2(x — 1)}{(x + 2)(x — 1)}$$

Теперь складываем дроби с одинаковыми знаменателями:

$$\frac{6}{(x + 2)(x — 1)} + \frac{2(x — 1)}{(x + 2)(x — 1)} = \frac{6 + 2(x — 1)}{(x + 2)(x — 1)}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$6 + 2x — 2 = 2x + 4$$

Получаем:

$$\frac{2x + 4}{(x + 2)(x — 1)} = \frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x — 1)}$$

Сократим на $x + 2$ (при $x \ne -2$):

$$\frac{2}{x — 1}$$

б) $\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{y^2 + 4y + 3}$

Разложим знаменатель второй дроби.
Квадратный трёхчлен $y^2 + 4y + 3$ имеет корни:
$D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$
$y_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3$, $y_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$
Значит:
$y^2 + 4y + 3 = (y + 3)(y + 1)$

Теперь преобразуем:

$$\frac{1}{y + 3} + \frac{2}{(y + 3)(y + 1)}$$

Приведём первую дробь к общему знаменателю:

$$\frac{1}{y + 3} = \frac{y + 1}{(y + 3)(y + 1)}$$

Теперь сложим:

$$\frac{y + 1}{(y + 3)(y + 1)} + \frac{2}{(y + 3)(y + 1)} = \frac{y + 1 + 2}{(y + 3)(y + 1)} = \frac{y + 3}{(y + 3)(y + 1)}$$

Сократим на $y + 3$ (при $y \ne -3$):

$$\frac{1}{y + 1}$$