ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 351 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\left( \frac{2}{a} + \frac{a}{2} — 2 \right) \cdot \frac{a}{6a — 12}$;

б) $\left( \frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2 \right) \cdot \left( m + 2n + \frac{n^2}{m} \right)$;

в) $\left( \frac{p}{q} — \frac{q}{p} \right) \cdot \left( \frac{p — q}{p + q} — \frac{p}{p + q} \right)$;

г) $\left( y — \frac{y^2}{y + 1} \right) : \left( y — \frac{y}{y + 1} \right)$.

а) $\left( \frac{2}{a} + \frac{a}{2} — 2 \right) \cdot \frac{a}{6a — 12} = \frac{2^2 + a^2 — 2 \cdot 2a}{2a} \cdot \frac{a}{6(a — 2)} = \frac{a^2 — 4a + 4}{2a} \cdot \frac{a}{6(a — 2)} = \frac{(a — 2)^2}{2a} \cdot \frac{a}{6(a — 2)} = \frac{a — 2}{12}$;

б) $\left( \frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2 \right) : \left( m + 2n + \frac{n^2}{m} \right) = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{mn} : \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m} = \frac{(m + n)^2}{mn} \cdot \frac{n}{(m + n)^2} = \frac{1}{n}$;

в) $\left( \frac{p}{q} — \frac{q}{p} \right) \cdot \left( \frac{p}{p — q} — \frac{p}{p + q} \right) = \frac{p^2 — q^2}{pq} \cdot \frac{p(p + q) — p(p — q)}{(p — q)(p + q)} = \frac{p^2 — q^2}{pq} \cdot \frac{p^2 + pq — p^2 + pq}{p^2 — q^2} = \frac{1}{pq} \cdot 2pq = 2$;

г) $\left( y — \frac{y^2}{y + 1} \right) : \left( y — \frac{y}{y + 1} \right) = \frac{y(y + 1) — y^2}{y + 1} : \frac{y(y + 1) — y}{y + 1} = \frac{y^2 + y — y^2}{y + 1} \cdot \frac{y + 1}{y^2 + y — y} = \frac{y}{y^2} = \frac{1}{y}$.

а) $\left( \frac{2}{a} + \frac{a}{2} — 2 \right) \cdot \frac{a}{6a — 12}$

Преобразуем выражение в скобках:

$\frac{2}{a} + \frac{a}{2} — 2$ — это сумма трёх слагаемых. Приведём к общему знаменателю $2a$:

$\frac{2}{a} = \frac{4}{2a}, \quad \frac{a}{2} = \frac{a^2}{2a}, \quad 2 = \frac{4a}{2a}$

Тогда:

$\frac{2}{a} + \frac{a}{2} — 2 = \frac{4 + a^2 — 4a}{2a} = \frac{a^2 — 4a + 4}{2a}$

Знаменатель второго множителя:

$6a — 12 = 6(a — 2)$

Получаем:

$\frac{a^2 — 4a + 4}{2a} \cdot \frac{a}{6(a — 2)}$

Числитель первой дроби $a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2$, тогда:

$\frac{(a — 2)^2}{2a} \cdot \frac{a}{6(a — 2)} = \frac{(a — 2)^2 \cdot a}{2a \cdot 6(a — 2)}$

Сокращаем $a$ и одну скобку $a — 2$:

$\frac{a — 2}{12}$

б) $\left( \frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2 \right) : \left( m + 2n + \frac{n^2}{m} \right)$

Левая часть:

$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2 = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{mn} = \frac{(m + n)^2}{mn}$

Правая часть:

$m + 2n + \frac{n^2}{m} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m} = \frac{(m + n)^2}{m}$

Заменим деление на умножение обратной дроби:

$\frac{(m + n)^2}{mn} \cdot \frac{m}{(m + n)^2} = \frac{1}{n}$

в) $\left( \frac{p}{q} — \frac{q}{p} \right) \cdot \left( \frac{p}{p — q} — \frac{p}{p + q} \right)$

Первый множитель:

$\frac{p}{q} — \frac{q}{p} = \frac{p^2 — q^2}{pq}$

Второй множитель:

$\frac{p}{p — q} — \frac{p}{p + q} = p \cdot \left( \frac{1}{p — q} — \frac{1}{p + q} \right)$

Общий знаменатель $(p — q)(p + q)$, числитель:

$p \cdot \left( \frac{p + q — (p — q)}{(p — q)(p + q)} \right) = p \cdot \left( \frac{2q}{p^2 — q^2} \right) = \frac{2pq}{p^2 — q^2}$

Итак, полное выражение:

$\frac{p^2 — q^2}{pq} \cdot \frac{2pq}{p^2 — q^2} = 2$

г) $\left( y — \frac{y^2}{y + 1} \right) : \left( y — \frac{y}{y + 1} \right)$

Вычислим числитель:

$\left( y — \frac{y^2}{y + 1} \right) = \frac{y(y + 1) — y^2}{y + 1} = \frac{y^2 + y — y^2}{y + 1} = \frac{y}{y + 1}$

Вычислим знаменатель:

$\left( y — \frac{y}{y + 1} \right) = \frac{y(y + 1) — y}{y + 1} = \frac{y^2 + y — y}{y + 1} = \frac{y^2}{y + 1}$

Теперь:

$\frac{\frac{y}{y + 1}}{\frac{y^2}{y + 1}} = \frac{y}{y^2} = \frac{1}{y}$