ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 349 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Выполните подстановку $a = \frac{xy}{x+y}$, $b = \frac{xy}{x-y}$ в данное выражение и упростите его:

а) $a + b$;

б) $a — b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$;

д) $\frac{ab}{a+b}$;

е) $\frac{a-b}{ab}$.

Значения: $a = \frac{xy}{x+y}$ и $b = \frac{xy}{x-y}$;

$a + b = \frac{xy}{x+y} + \frac{xy}{x-y} = \frac{xy(x-y) + xy(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2y — xy^2 + x^2y + xy^2}{x^2 — y^2} = \frac{2x^2y}{x^2 — y^2}$;

$a — b = \frac{xy}{x+y} — \frac{xy}{x-y} = \frac{xy(x-y) — xy(x+y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2y — xy^2 — x^2y — xy^2}{x^2 — y^2} = \frac{-2xy^2}{x^2 — y^2} = \frac{2xy^2}{y^2 — x^2}$;

$ab = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{xy}{x-y} = \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2}$;

г)$\frac{a}{b} = \frac{xy}{x+y} : \frac{xy}{x-y} = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{x-y}{xy} = \frac{x-y}{x+y}$;

д)$\frac{ab}{a+b} = \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2} : \frac{2x^2y}{x^2 — y^2} = \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2} \cdot \frac{x^2 — y^2}{2x^2y} = \frac{x^2y^2}{2x^2y} = \frac{y}{2}$;

е)$\frac{a-b}{ab} = \frac{2xy^2}{x^2 — y^2} : \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2} = \frac{2xy^2}{x^2 — y^2} \cdot \frac{x^2 — y^2}{x^2y^2} = \frac{2xy^2}{x^2y^2} = \frac{2}{x}$.

а) $a + b = \frac{xy}{x+y} + \frac{xy}{x-y}$

Приведем к общему знаменателю: $(x+y)(x-y)$. Тогда числитель:

$$xy(x — y) + xy(x + y) = x^2y — xy^2 + x^2y + xy^2 = 2x^2y$$

Общий знаменатель: $x^2 — y^2$, т.к. $(x+y)(x-y) = x^2 — y^2$. Тогда:

$$a + b = \frac{2x^2y}{x^2 — y^2}$$

б) $a — b = \frac{xy}{x+y} — \frac{xy}{x-y}$

Приводим к общему знаменателю $(x+y)(x-y)$. Числитель:

$$xy(x — y) — xy(x + y) = x^2y — xy^2 — x^2y — xy^2 = -2xy^2$$

Знаменатель: $x^2 — y^2$

$$a — b = \frac{-2xy^2}{x^2 — y^2} = \frac{2xy^2}{y^2 — x^2}$$

в) $ab = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{xy}{x-y}$

Умножаем числители и знаменатели:

$$ab = \frac{x^2y^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2}$$

г) $\frac{a}{b} = \frac{xy}{x+y} \div \frac{xy}{x-y} = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{x-y}{xy}$

Сокращаем $xy$:

$$\frac{a}{b} = \frac{x-y}{x+y}$$

д) $\frac{ab}{a+b}$

Сначала считаем $ab = \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2}$, а $a + b = \frac{2x^2y}{x^2 — y^2}$

Тогда:

$$\frac{ab}{a + b} = \frac{\frac{x^2y^2}{x^2 — y^2}}{\frac{2x^2y}{x^2 — y^2}} = \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2} \cdot \frac{x^2 — y^2}{2x^2y} = \frac{x^2y^2}{2x^2y} = \frac{y}{2}$$

е) $\frac{a — b}{ab}$

Ранее найдено: $a — b = \frac{-2xy^2}{x^2 — y^2}$, $ab = \frac{x^2y^2}{x^2 — y^2}$

Тогда:

$$\frac{a — b}{ab} = \frac{-2xy^2}{x^2 — y^2} \cdot \frac{x^2 — y^2}{x^2y^2} = \frac{-2xy^2}{x^2y^2} = -\frac{2}{x}$$