ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 346 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Из двух данных выражений составьте какое-нибудь целое выражение и преобразуйте его в многочлен, а затем составьте какое-нибудь дробное выражение и упростите его:

а) $(x — 1)^2$ и $x^2 — 1$

б) $a^3 — 4$ и $a^2 — 3a + 2$

а) $(x — 1)^2$ и $x^2 — 1$;

Целое выражение:

$(x — 1)^2 + x^2 — 1 = x^2 — 2x + 1 + x^2 — 1 = 2x^2 — 2x$;

Дробное выражение:

$\frac{(x — 1)^2}{x^2 — 1} = \frac{(x — 1)(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{x — 1}{x + 1}$;

б) $a^2 — 4$ и $a^2 — 3a + 2$;

Целое выражение:

$a^2 — 4 + (a^2 — 3a + 2) = a^2 — 4 + a^2 — 3a + 2 = 2a^2 — 3a — 2$;

Дробное выражение:

$\frac{a^2 — 3a + 2}{a^2 — 4} = \frac{a^2 — 2a — a + 2}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{a(a — 2) — 1(a — 2)}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{a — 1}{a + 2}$

а) $(x — 1)^2$ и $x^2 — 1$

Целое выражение:

$(x — 1)^2 + x^2 — 1$

Возводим скобку в квадрат:

$(x — 1)^2 = x^2 — 2x + 1$

Складываем все слагаемые:

$x^2 — 2x + 1 + x^2 — 1 = x^2 + x^2 — 2x + 1 — 1 = 2x^2 — 2x$

Дробное выражение:

$\frac{(x — 1)^2}{x^2 — 1}$

В числителе квадрат разности:

$(x — 1)^2 = (x — 1)(x — 1)$

В знаменателе разность квадратов:

$x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)$

Сокращаем на общий множитель $x — 1$:

$\frac{(x — 1)(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{x — 1}{x + 1}$

б) $a^2 — 4$ и $a^2 — 3a + 2$

Целое выражение:

$a^2 — 4 + a^2 — 3a + 2$

Объединяем подобные члены:

$a^2 + a^2 = 2a^2$

$-4 + 2 = -2$

Результат:

$2a^2 — 3a — 2$

Дробное выражение:

$\frac{a^2 — 3a + 2}{a^2 — 4}$

Разложим числитель:

$a^2 — 3a + 2 = a^2 — 2a — a + 2 = a(a — 2) — 1(a — 2) = (a — 1)(a — 2)$

Разложим знаменатель:

$a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)$

Подставим и сократим на $a — 2$:

$\frac{(a — 1)(a — 2)}{(a — 2)(a + 2)} = \frac{a — 1}{a + 2}$