ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 345 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Какова область определения выражения:
а) $\frac{1}{x} + \frac{x}{x — 3}$;

б) $\frac{a}{a^2 — 1} — \frac{a}{a + 1}$;

в) $2y + \frac{1}{y + 2}$;

г) $\frac{3}{c^2 + c} — c$;

д) $\frac{1 + \frac{1}{a}}{1 + a}$;

е) $\frac{x}{1 — \frac{1}{x}}$.

а) $\frac{1}{x} + \frac{x}{x — 3}$

Имеет смысл при:

$x \neq 0$

$x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$

б) $\frac{a}{a^2 — 1} — \frac{a}{a + 1}$

Имеет смысл при:

$a^2 — 1 \neq 0 \Rightarrow a^2 \neq 1 \Rightarrow a \neq \pm 1$

$a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$

Итоговое ограничение: $a \neq -1$ и $a \neq 1$

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$

в) $2y + \frac{1}{y + 2}$

Имеет смысл при:

$y + 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2$

Ответ: $y \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$

г) $\frac{3}{c^2 + c} — c$

Имеет смысл при:

$c^2 + c \neq 0 \Rightarrow c(c + 1) \neq 0$

$c \neq 0$

$c + 1 \neq 0 \Rightarrow c \neq -1$

Ответ: $c \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$

д) $\frac{1 + \frac{1}{a}}{1 + a}$

Имеет смысл при:

$a \neq 0$

$1 + a \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$

е) $\frac{x}{1 — \frac{1}{x}}$

Имеет смысл при:

$x \neq 0$

$1 — \frac{1}{x} \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$

а) $\frac{1}{x} + \frac{x}{x — 3}$

Данное выражение состоит из суммы двух дробей. Чтобы оно имело смысл, необходимо, чтобы ни один из знаменателей не обращался в ноль.

Первый знаменатель:
$x \neq 0$, так как деление на ноль запрещено.

Второй знаменатель:
$x — 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

Значит, выражение определено для всех действительных чисел, кроме $x = 0$ и $x = 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$

б) $\frac{a}{a^2 — 1} — \frac{a}{a + 1}$

Первая дробь имеет знаменатель $a^2 — 1$. Это разность квадратов:

$a^2 — 1 = (a — 1)(a + 1)$

Следовательно, $a \neq 1$ и $a \neq -1$

Вторая дробь имеет знаменатель $a + 1$, значит:

$a + 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$

Итог: обе части выражения определены при $a \neq -1$ и $a \neq 1$

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$

в) $2y + \frac{1}{y + 2}$

Это сумма числа $2y$ и дроби, в которой знаменатель равен $y + 2$

Знаменатель не должен быть равен нулю:
$y + 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq -2$

Выражение определено при всех $y$, кроме $-2$

Ответ: $y \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$

г) $\frac{3}{c^2 + c} — c$

Вторая часть $-c$ определена при всех значениях. Рассмотрим первую дробь: знаменатель $c^2 + c$

Вынесем общий множитель:
$c^2 + c = c(c + 1)$

Произведение не должно быть равно нулю:
$c \neq 0$ и $c + 1 \neq 0 \Rightarrow c \neq -1$

Итак, выражение не определено при $c = 0$ и $c = -1$

Ответ: $c \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$

д) $\frac{1 + \frac{1}{a}}{1 + a}$

Это дробь, числитель которой содержит вложенную дробь. Для её существования должны быть выполнены два условия:

$a \neq 0$, так как в числителе присутствует $\frac{1}{a}$

$1 + a \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$

Таким образом, выражение не определено при $a = 0$ и $a = -1$

Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; +\infty)$

е) $\frac{x}{1 — \frac{1}{x}}$

В числителе — переменная $x$, в знаменателе — выражение с дробью. Чтобы вся дробь была определена, должны выполняться два условия:

$x \neq 0$, потому что $\frac{1}{x}$ не определена при $x = 0$

$1 — \frac{1}{x} \neq 0 \Rightarrow \frac{1}{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$

Таким образом, выражение не определено при $x = 0$ и $x = 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$