ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 344 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

а) $\frac{x}{1 — x^2}$;

б) $\frac{a^2 — 1}{(2 — a)(4 + 3a)}$;

в) $\frac{y^2 — 9}{y^2 + 9}$;

г) $\frac{m — 3}{m^2}$;

д) $\frac{x^2 — 5x + 3}{4}$;

е) $\frac{b^2 + 1}{b^2 — 8b + 12}$;

ж) $\frac{1 + a}{1 — 2a + a^2}$;

з) $(3x + 9)^2$;

и) $2a^{-1} — 4$.

а) $\frac{x}{1 — x^2}$;

Имеет смысл при:

$1 — x^2 \neq 0$

$x^2 \neq 1$, отсюда $x \neq \pm 1$

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$

б) $\frac{a^2 — 1}{(2 — a)(4 + 3a)}$;

Имеет смысл при:

$2 — a \neq 0$, отсюда $a \neq 2$

$4 + 3a \neq 0$, отсюда $a \neq -\frac{4}{3}$

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; 2) \cup (2; +\infty)$

в) $\frac{y^2 — 9}{y^2 + 9}$;

Имеет смысл при:

$y^2 + 9 \neq 0$

$y^2 \neq -9$ — не имеет решений

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$

г) $\frac{m — 3}{m^2}$;

Имеет смысл при:

$m^2 \neq 0$, отсюда $m \neq 0$

Ответ: $m \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

д) $\frac{x^2 — 5x + 3}{4}$;

Имеет смысл при:

$4 \neq 0$ — выполняется всегда

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

е) $\frac{b^2 + 1}{b^2 — 8b + 12}$;

Имеет смысл при:

$b^2 — 8b + 12 \neq 0$

Найдём дискриминант:
$D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$

Корни:
$b_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2$,
$b_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$

Ответ: $b \in (-\infty; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$

ж) $\frac{1 + a}{1 — 2a + a^2}$;

Имеет смысл при:

$1 — 2a + a^2 \neq 0$

$(1 — a)^2 \neq 0$

$1 — a \neq 0$, отсюда $a \neq 1$

Ответ: $a \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

з) $(3x + 9)^2$;

Имеет смысл при любом значении $x$

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

и) $2a^{-1} — 4 = \frac{2}{a} — 4$;

Имеет смысл при:

$a \neq 0$

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

а) $\frac{x}{1 — x^2}$

Выражение представляет собой дробь, где числитель — переменная $x$, а знаменатель — разность $1 — x^2$. Чтобы данное выражение имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю:

$1 — x^2 \neq 0$

Переносим $x^2$ вправо:

$x^2 \neq 1$

Извлекаем корень:

$x \neq \pm 1$

Таким образом, исключаем из области допустимых значений точки $x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$

б) $\frac{a^2 — 1}{(2 — a)(4 + 3a)}$

Числитель здесь — многочлен второй степени $a^2 — 1$, а знаменатель состоит из произведения двух линейных выражений. Выражение определено, если оба множителя в знаменателе не обращаются в ноль.

$2 — a \neq 0 \Rightarrow a \neq 2$

$4 + 3a \neq 0 \Rightarrow 3a \neq -4 \Rightarrow a \neq -\frac{4}{3}$

Таким образом, исключаем два значения, при которых хотя бы один из множителей равен нулю.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{4}{3}) \cup (-\frac{4}{3}; 2) \cup (2; +\infty)$

в) $\frac{y^2 — 9}{y^2 + 9}$

Числитель — разность квадратов, знаменатель — сумма квадрата и положительного числа. Проверим, когда знаменатель обращается в ноль:

$y^2 + 9 \neq 0$

Но $y^2 \geq 0$, значит $y^2 + 9 \geq 9$, и это выражение никогда не обращается в ноль при любых действительных значениях $y$.

Ответ: $y \in (-\infty; +\infty)$

г) $\frac{m — 3}{m^2}$

В числителе — линейное выражение, в знаменателе — квадрат переменной $m$. Проверим, при каких значениях знаменатель равен нулю:

$m^2 = 0 \Rightarrow m = 0$

Исключаем ноль из области допустимых значений, так как делить на ноль нельзя.

Ответ: $m \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

д) $\frac{x^2 — 5x + 3}{4}$

Знаменатель — число $4$, а значит, он не зависит от переменной и никогда не равен нулю. Таким образом, выражение определено при всех значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

е) $\frac{b^2 + 1}{b^2 — 8b + 12}$

Знаменатель — квадратный трёхчлен. Чтобы найти, когда он обращается в ноль, решим уравнение:

$b^2 — 8b + 12 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$

Найдём корни:

$b = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$

$b_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2, \quad b_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$

Значит, при $b = 2$ и $b = 6$ выражение не имеет смысла.

Ответ: $b \in (-\infty; 2) \cup (2; 6) \cup (6; +\infty)$

ж) $\frac{1 + a}{1 — 2a + a^2}$

Преобразуем знаменатель:

$1 — 2a + a^2 = (1 — a)^2$

Для определения выражения знаменатель не должен быть равен нулю:

$(1 — a)^2 \neq 0 \Rightarrow 1 — a \neq 0 \Rightarrow a \neq 1$

Ответ: $a \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

з) $(3x + 9)^2$

Это квадрат любого числа, определён при всех значениях $x$. Знаменателя нет, ограничения отсутствуют.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

и) $2a^{-1} — 4 = \frac{2}{a} — 4$

Выражение содержит деление на переменную $a$. Чтобы оно имело смысл, $a$ не должно быть равно нулю:

$a \neq 0$

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$