ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 340 Дорофеев, Суворова — Подробные Ответы

В областной эстафете по лыжам четыре этапа. На каждом этапе бежит один человек из команды, причём на первых двух бегут девушки, а на последних двух — юноши. В команде города N состоят 3 девушки и 5 юношей. Среди них — брат и сестра Коля и Оля Светловы. Участие в эстафете решено определить жеребьёвкой.
а) Сколько существует вариантов эстафетной команды (здесь важно, кто на каком этапе побежит)?
б) Какова вероятность того, что Оля Светлова побежит в эстафете? Какова вероятность того, что в эстафете побежит Коля Светлов?
в) Какова вероятность того, что и Оля, и Коля Светловы попадут в эстафетную команду?

а) Варианты эстафетной команды (с учётом номера этапа):

Вариантов выбора трёх девушек на первые два этапа:
$P_1 = A_3^2 = \frac{3!}{(3 — 2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1} = 6$

Вариантов выбора шести юношей на последние два этапа:
$P_2 = A_5^2 = \frac{5!}{(5 — 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Всего вариантов:
$P = P_1 \cdot P_2 = 6 \cdot 20 = 120$

б)
Оля не побежит на первом этапе с вероятностью:
$P_1 = \frac{2}{3}$

Оля не побежит на втором этапе с вероятностью:
$P_2 = \frac{1}{2}$

Вероятность того, что она не побежит вовсе:
$\overline{P} = P_1 \cdot P_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Значит, вероятность того, что Оля побежит:
$P_o = 1 — \overline{P} = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Коля не побежит на первом этапе с вероятностью:
$P_1 = \frac{4}{5}$

Коля не побежит на втором этапе с вероятностью:
$P_2 = \frac{3}{4}$

Вероятность того, что он не побежит вовсе:
$\overline{P} = P_1 \cdot P_2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$

Значит, вероятность того, что Коля побежит:
$P_k = 1 — \overline{P} = 1 — \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

в) Вероятность того, что и Оля, и Коля попадут в эстафету:
$P = P_o \cdot P_k = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$

а) Варианты эстафетной команды (с учётом номера этапа):

Рассматривается составление эстафетной команды из 3 девушек и 5 юношей. Команда состоит из четырёх участников, каждый из которых бежит строго определённый этап: два первых этапа бегут девушки, два последних — юноши. Важно учитывать порядок участников, так как каждый этап отличается от другого.

Для девушек:

Из 3 девушек нужно выбрать 2, причём порядок важен, так как первая и вторая бегут разные этапы. Это размещения из 3 по 2:

$P_1 = A_3^2 = \frac{3!}{(3 — 2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1} = 6$

Для юношей:

Из 5 юношей также выбираются 2 на два последних этапа, и порядок важен:

$P_2 = A_5^2 = \frac{5!}{(5 — 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

Общее количество способов составить такую эстафетную команду с учётом порядка бегущих:

$P = P_1 \cdot P_2 = 6 \cdot 20 = 120$

б) Определим вероятность того, что определённый участник попадёт в эстафету. Начнём с Оли.

Всего девушек 3, а этапов для девушек — 2. Следовательно, вероятность того, что Оля не попадёт на первый этап, если её выбирают случайно из трёх девушек, составляет:

$P_1 = \frac{2}{3}$

После выбора первой участницы остаётся 2 девушки и один этап. Если Оля не побежала первой, то вероятность того, что её не выберут второй, составляет:

$P_2 = \frac{1}{2}$

Значит, вероятность того, что она не будет выбрана ни на первый, ни на второй этап:

$\overline{P}_O = P_1 \cdot P_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

Тогда вероятность того, что Оля всё же попадёт в эстафету:

$P_O = 1 — \overline{P}_O = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь рассмотрим вероятность для Коли. Всего юношей — 5, а этапов для них — 2.

Вероятность того, что Коля не попадёт на первый мужской этап:

$P_1 = \frac{4}{5}$

Остаётся 4 юноши и один этап. Если Коля не выбран первым, то вероятность того, что он не будет выбран вторым:

$P_2 = \frac{3}{4}$

Вероятность того, что Коля не будет выбран на оба этапа:

$\overline{P}_K = P_1 \cdot P_2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$

Следовательно, вероятность, что Коля попадёт в эстафету:

$P_K = 1 — \overline{P}_K = 1 — \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

в) Чтобы определить вероятность того, что и Оля, и Коля одновременно попадут в эстафету, нужно перемножить их индивидуальные вероятности, так как выбор осуществляется независимо:

$P = P_O \cdot P_K = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$